河南工程学院第五届ACM大学生程序设计竞赛（部分题解）

问题 A: 敏感的小明同学

小明是一个对数字非常敏感的人，当他看到某个特定的数字p (1<=p<=9)时就会兴奋一下，现在给你一个数值区间( l , r )，问你当小明看到这个区间内所有的数字时会兴奋多少下？（例如 l=2,r=22,p=2时，小明会兴奋6下，l=2,12,20,21时各兴奋一下，22兴奋两下）

这道题可以化解为求某个区间中某个数字的个数
举个例子：

12105这个数字，千位上是2，那么千位上出现1的整数有多少个呢？1000_1999,1100011999,总共是2x1000；(2 = 万位+1)

百位上是1，那么百位上出现1的整数有多少个呢？100-199，1100-1199…9100-9199，10100-10199，…11100-11199,12100-12105,总共是12x100+5+1；

十位上是0，那么十位上出现1的整数有多少个呢？10-19,110-119,210-219…1010-1019…10010-10019…12010-12019…总共:121x10

按照低位、当前位、高位来区分

求【1，N】中1出现的个数规律如下：

如果当前位小于1，那么个数等于高位*当前位率

如果当前位等于1，那么个数等于高位*当前位率 + 低位 + 1
如果当前位大于1，那么个数等于（高位+1）*当前位率

参考网站举个例子：

12105这个数字，千位上是2，那么千位上出现1的整数有多少个呢？1000_1999,1100011999,总共是2x1000；(2 = 万位+1)

百位上是1，那么百位上出现1的整数有多少个呢？100_199，11001199…9100_9199，1010010199，…11100_11199,1210012105,总共是12x100+5+1；

十位上是0，那么十位上出现1的整数有多少个呢？10_19,110119,210_219…10101019…10010_{10019…12010}12019…总共:121x10

按照低位、当前位、高位来区分

求【1，N】中1出现的个数规律如下：

如果当前位小于1，那么个数等于高位*当前位率

如果当前位等于1，那么个数等于高位*当前位率 + 低位 + 1
如果当前位大于1，那么个数等于（高位+1）*当前位率

参考网站：http://www.voidcn.com/article/p-gswrfywk-qs.html

参考代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int l,r,p;
int f(int x)
{
    int a=x,t=1,s=0;
    while(x)
    {
        s+=x/10*t;
        if(x%10>p)
        s+=t;
        else if(x%10==p)
        s+=(a%t)+1;//cout<<"1="<<s<<endl;
        x/=10;
        t*=10;
        //cout<<"2="<<s<<endl;
    }
 return s;
}
int main()
{
    int n;
    cin>>n;
    while(n--)
    {
        cin>>l>>r>>p; 
        cout<<f(r)-f(l-1)<<endl;
    }
return 0;
}

问题 B: 森林探险

小明是个方向感极弱的人，为了证明自己，他打算进入森林探险。
他的朋友小红给了他一个写满坐标的地图，如果他按照地图上的点一通过并且最终记住自己向左转动（不包括向后转动）了几次的话，就算小明胜利。
望着地图上密密麻麻的坐标轴，小明头都大了，但是聪明的他立刻想到了你：算法神犇！
你可以帮助他完成这一挑战吗？

问题分析：
这道题可以以平面方程系列中的问题，可以采用点积，叉积的思想解决问题。

向量积，数学中又称外积、叉积，物理中称矢积、叉乘，是一种在向量空间中向量的二元运算。与点积不同，它的运算结果是一个向量而不是一个标量。并且两个向量的叉积与这两个向量和垂直。
计算是这样的，对于向量a（x1，y1），b（x2，y2）
他们的叉积a×b=x1y2-y1x2
叉积是一个向量，表示的是有向面积，方向可以用右手定则来判断，比如要用a×b，就要把a旋转到b，如果四指为旋转方向，拇指所指的方向就是叉积的方向

参考链接：
https://blog.csdn.net/ld326/article/details/84689620?utm_source=app&app_version=4.9.1&code=app_1562916241&uLinkId=usr1mkqgl919blen

下面上代码：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<vector>  //容器
#include<string.h>    //string
#include<math.h>  //数学函数
#include<stack>       //栈
#include<queue>     //优先队列
#include <stdlib.h> //字符串转整形
#include<sstream> //使用istringstrem ( 识别string中的字符串，且不会读取空格）
#include<set>     //set 函数，容器里的元素不能重复
using namespace std;
struct p
{
    int x;
    int y;
}y[2000];
double panduan(p p1,p p2,p p3)
{
    return ((p2.x-p1.x)*(p3.y-p2.y)-(p3.x-p2.x)*(p2.y-p1.y));
}
int main()
{
    int n;
    struct p y[2000];
    cin>>n;
    for(int i=0;i<n;i++)
    {
        cin>>y[i].x>>y[i].y;
    }
    int ans=0;
    for(int i=2;i<n;i++)
    {
        if(panduan(y[i-2],y[i-1],y[i])>0)
            ans++; 
    }
    cout<<ans<<endl;
return 0 ;
}

问题 C: 小明的强迫症

小明是个强迫症患者，每次必须喝固定容量的水，但是森林探险条件简陋，他又忘记携帯量筒，现在找到了据说是算法神犇的你，来帮助他。
他有两个杯子A和B，想要喝的水量C，对杯子A和B可以有三种操作：
1、将杯子 i 满水
2、将杯子 i 的水倒
3、将杯子 i 的水倒进杯子 j 中，在这个操作后，有可能杯子 j 是满的（杯子 i 中可能还有一些水），也有可能杯子 i 是空的（他里面的水都被倒进了杯子 j 里）
为了保持森林探险所需要的体力，对杯子的操作要尽可能的少，现在请你帮助小明，补充水分，使他更好地森林探险。

本题可以用递归进行模拟
先来简化一下这个问题：如果c>a+b，那么我们总可以通过倒入n次a和m次b使得c-(na+mb)<a+b，(n、m为非负整数)，所以我们只需要研究c<a+b的情况。设x为a、b两数的最大公约数，那么能够量出c的数学条件是c能整除x，即c%x==0.

因此，在进行判断是否能得到想要的结果后，我们需要分别进行a往b中倒水，然后倒掉b，或者b往a中倒水，然后倒掉a，如此重复，直到符合标准为止。

上代码：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<vector>  //容器
#include<string.h>    //string
#include<math.h>  //数学函数
#include<stack>       //栈
#include<queue>     //优先队列
#include <stdlib.h> //字符串转整形
#include<sstream> //使用istringstrem ( 识别string中的字符串，且不会读取空格）
#include<set>     //set 函数，容器里的元素不能重复
using namespace std;
         
int daoshui(int A, int B, int C)
{
    int inA = 0;
    int inB = 0;
    int flag = 0;
    int ans=0;
    while(1)   
    {   
        if(flag++>999) 
        {
            ans++;
            break;
        }
        if(0==inA)   
        {   
            ans++;
            inA=A;   
        }   
        else 
        {   
            ans++;
            inB+=inA;   
            if(inB>=B)   
            {    
               inA=inB-B;
               if(C == inA || C == inB)   
                {   
                    return ans;   
                }     
               ans++;
               inB = 0;     
            }   
            else 
            {   
                inA=0;   
            }   
        }    
       if(C == inA || C == inB)   
        {   
            return ans;   
        }   
    }   
}
int main()
{
    int t;  cin>>t;
    while(t--)
    {
        int A,B,C,w;
        cin>>A>>B>>C; 
        if(C%__gcd(A,B)==0)
        {
            int ans1=daoshui(A,B,C);
            int ans2=daoshui(B,A,C);
            cout<<min(ans1,ans2)<<endl;
        }
        else
            cout<<"impossible"<<endl;
}
return 0 ;
}

参考网站：https://blog.csdn.net/henuboy/article/details/11287183?utm_source=blogxgwz1&utm_medium=distribute.pc_relevant.none-task-blog-baidujs_title-0&spm=1001.2101.3001.4242

问题 D: 基建手游

森林探险后小明打算在家中宅一阵子，他迷上了一款基建手游。
在浩瀚的布鲁克西大陆上，有一个神秘的王国，城主小明可以选择在这个王国里圈出一块占地K*K的正方形作为自己的城池，小明希望你选出一块合适的位置，使得他的城池土地价值和最大。

本道题考的知识点为前缀和。

其前缀和的知识点如下：

参考网站：https://blog.csdn.net/K_R_forever/article/details/81775899?utm_medium=distribute.pc_relevant.none-task-blog-2%7Edefault%7EBlogCommendFromMachineLearnPai2%7Edefault-2.control&depth_1-utm_source=distribute.pc_relevant.none-task-blog-2%7Edefault%7EBlogCommendFromMachineLearnPai2%7Edefault-2.control

在理解前缀和的代码后，我们不难写出代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<vector>  //容器
#include<string.h>    //string
#include<math.h>  //数学函数
#include<stack>       //栈
#include<queue>     //优先队列
#include <stdlib.h> //字符串转整形
#include<sstream> //使用istringstrem ( 识别string中的字符串，且不会读取空格）
#include<set>     //set 函数，容器里的元素不能重复
using namespace std;
int a[1000][1000],b[1000][1000];
int main()
{
    int n,m,k;
    cin>>n>>m>>k;
    for(int i=0;i<n;i++)
        for(int j=0;j<m;j++)
        {
            cin>>b[i][j];
            a[i][j]=b[i][j]+a[i][j-1]+a[i-1][j]-a[i-1][j-1];
        }
    int max=-999999;
    int x,y;
    k--;
    for(int i=0;i<n-k;i++)
        for(int j=0;j<m-k;j++)
        {
            int sum=a[i+k][j+k]-a[i+k][j-1]-a[i-1][j+k]+a[i-1][j-1];
            if(sum>max)
            {
                x=i+1;
                y=j+1;
                max=sum;
            }
        }
        cout<<x<<" "<<y<<endl;
return 0 ;
}

以上是本次比赛的部分代码，有不对之处，请大家多多交流指正。