1:
数据结构与算法
树

2:
报告人：XXX
树
目标
二叉树
哈夫曼树
本章目标
树的定义和常用术语

树的存储表示

二叉树、满二叉树和完全二叉树的定义

二叉树的性质和存储表示

二叉树的遍历操作及其应用

哈夫曼树的构造方法及其实现

3:
01
第一节 树
The first chapter
内容展示

4:
报告人：XXX
目标
树
二叉树
哈夫曼树
1 树
1.1 树的定义和常用术语
你见过家族谱系图吗？试以图形表示从你的祖父起的家族成员关系。

祖父
伯父
父亲
叔父
堂兄
堂姐
你
侄儿
堂弟
这类图形正是本章要讨论的“树”结构。

5:
报告人：XXX
目标
树
二叉树
哈夫曼树
1 树
1.1 树的定义和常用术语
树是由n（n≥0）个结点所构成的有限集合，当n=0时，称为空树；当n>0时，n个结点满足以下条件：

⑴ 有且仅有一个称为根的结点。

⑵ 其余结点可分为m（m≥0）个互不相交的有限集合，且每一个集合又构成一棵树，这棵树称为是根结点的子树。

B的集合=[B,D,G,H,I]
C的集合=[C,E,F,J]

6:
报告人：XXX
目标
树
二叉树
哈夫曼树
1 树
1.1 树的定义和常用术语
每个结点都只有有限个子结点或无子结点；

没有父结点的结点称为根结点；

每一个非根结点有且只有一个父结点；

除了根结点外，每个子结点可以分为多个不相交的子树

树里面没有环路(cycle)
树的特点：

7:
报告人：XXX
目标
树
二叉树
哈夫曼树
1 树
1.1 树的定义和常用术语
树里面没有环路：
图1
图2
图3
下图是树吗？

8:
报告人：XXX
目标
树
二叉树
哈夫曼树
1 树
1.1 树的定义和常用术语
树里面没有环路：
图4
图5
下图是树吗？

9:
报告人：XXX
目标
树
二叉树
哈夫曼树
1 树
1.1 树的定义和常用术语
树的结点：
“树”这种数据结构真的很像我们现实生活中的“树”，这里面每个元素我们叫作“结点”；用来连线相邻结点之间的关系，我们叫作“父子关系”。
左图：结点 B 是结点 C D E 的父结点，C D E 就是 B 的子结点，C D E 之间称为兄弟结点，我们把没有父结点的 A 结点叫做根结点，我们把没有子结点的结点称为叶子结点如：F G H I K L 均是叶子结点。

10:
报告人：XXX
目标
树
二叉树
哈夫曼树
1 树
1.1 树的定义和常用术语
树的常用术语：
结点:
结点的度:
树的度:
叶子结点:
分支结点:
数据元素
结点所拥有子树的数目
树中所有结点的度的最大值
度为零的结点
度大于零的结点
D
H
I
J
M
分支:
根和子树根之间的连线(边)
结点的路径:
由从根到该结点所经分支和结点构成

11:
报告人：XXX
目标
树
二叉树
哈夫曼树
1 树
1.1 树的定义和常用术语
树的常用术语：
孩子结点、双亲parent结点、兄弟结点、
堂兄弟结点、祖先结点、子孙结点
结点的层次:
树的深度：
树中所有结点层次数的最大值加1。
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
M
K
L
规定根结点的层次为0，则其它结点的层次是其双亲结点的层次数加1。

12:
报告人：XXX
目标
树
二叉树
哈夫曼树
1 树
1.1 树的定义和常用术语
树的重点常用术语： 高度(Heignt)，深度(Depth)，层(Level)
结点的高度：结点到叶子结点的最长路径(边数)，所有叶子结点的高度为 0。
结点的层次：规定根的层次为 0，其余由父结点层次+1
结点的深度：层次+1
树的高度：根结点的高度

13:
报告人：XXX
目标
树
二叉树
哈夫曼树
1 树
1.1 树的定义和常用术语
树的常用术语：
森林：
由m（m≥0）棵互不相交的树所构成的集合。

B
C
D
E
F
G
H
I
J
M
K
L

14:
第二章节：二叉树

The second chapter
内容展示
02

15:
报告人：XXX
树
二叉树
目标
哈夫曼树
2 二叉树
2.1 二叉树的定义
二叉树的定义：
二叉树，顾名思义，每个结点最多有两个“叉”，也就是两个子结点，分别是左子结点和右子结点。不过，二叉树并不要求每个结点都有两个子结点，有的结点只有
左子结点，有的结点只有右子结点。当然二叉树也可以为空树。
如下图所示均是二叉树：
图1
图2
图3

16:
树
二叉树
目标
哈夫曼树
2 二叉树
2.1 二叉树的定义
二叉树五种基本形态：

N

空树
只含根结点
N
N
N
L
R
R
右子树为空树
L
左子树为空树
左右子树均不为空树

17:
报告人：XXX
树
二叉树
目标
哈夫曼树
2 二叉树
2.1 二叉树的定义
满二叉树的定义：
图2
叶子结点全都在最底层，除了叶子结点之外，每个结点都有左右两个子结点，
这种二叉树就叫作满二叉树。

18:
树
二叉树
目标
哈夫曼树
2 二叉树
2.1 二叉树的定义
完全二叉树的定义：
图3
叶子结点都在最底下两层，最后一层的叶子结点都靠左排列，并且除了最后
一层，其他层的结点个数都要达到最大，这种二叉树叫作完全二叉树。

19:
树
二叉树
目标
哈夫曼树
2 二叉树
2.1 二叉树的定义
下图是完全二叉树吗？
图1
图2
图3
图4
T1 是完全二叉树，T2,T3,T4 均不是完全二叉树

20:
树
二叉树
目标
哈夫曼树
2 二叉树
2.1 二叉树的定义
单分支树的定义：
左支树：
左支树
右支树
右支树：
所有结点都没有右孩子的二叉树。
所有结点都没有左孩子的二叉树。
A
B
C
D

A
B
C
D

21:
树
二叉树
目标
哈夫曼树
2 二叉树
2.2 二叉树的性质
性质1：
在二叉树的第 i 层上至多有2i 个结点。(i≥0)

22:
树
二叉树
目标
哈夫曼树
2 二叉树
2.2 二叉树的性质
性质2：
深度为 h （h≥1）的二叉树上至多含 2h-1 个结点。

23:
树
二叉树
目标
哈夫曼树
2 二叉树
2.2 二叉树的性质
性质3：
对于任何一棵二叉树，若其叶结点的个数为n0 ，度为2的结点个数为n2，则有n0 = n2+1 。

24:
树
二叉树
目标
哈夫曼树
2 二叉树
2.2 二叉树的性质
性质4：
　具有 n 个结点的完全二叉树的深度为 log2n +1 或 log2(n+1) 。

25:
树
二叉树
目标
哈夫曼树
2 二叉树
2.2 二叉树的性质
性质5：
若对含 n 个结点的完全二叉树从上到下且从左至右进行 0至 n-1 的编号，则对完全二叉树中任意一个编号为 i 的结点,有：

(1) 若 i=0，则该结点是二叉树的根，无双亲，否则，编号为 (i-1)/2 的结点为其双亲结点；

(2) 若 2i+1≥n，则该结点无左孩子，否则，编号为 2i+1 的结点为其左孩子结点；

(3) 若 2i+2≥n，则该结点无右孩子结点，否则，编号为2i+2 的结点为其右孩子结点。

26:
树
二叉树
目标
哈夫曼树
2 二叉树
2.3 二叉树的存储结构
二叉树的存储结构：
2.二叉树的链式存储结构
1.二叉树的顺序存储结构

27:
树
二叉树
目标
哈夫曼树
2 二叉树
2.3 二叉树的存储结构
完全二叉树的顺序存储结构：
用一组地址连续的存储单元从根结点开始依次自上而下，并按层次从左到右存储完全二叉树上的各结点元素，即将完全二叉树编号为i的结点元素存储在下标为i数组元素中。

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

a b c d e f g h i j

a
b
c
d
e
f
g
h
i
j
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9

28:
树
二叉树
目标
哈夫曼树
2 二叉树
2.3 二叉树的存储结构
非完全二叉树的顺序存储结构：
先在树中增加一些并不存在的虚结点并使其成为一棵完全二叉树，然后用与完全二叉树相同的方法对结点进行编号，再将编号为i的结点的值存放到数组下标为i的数组单元中，虚结点不存放任何值。
A
B
C
D
E
F
1
4
0
13
2
6
A B D C E F
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

问：一个深度为 k 且只有 k 个结点的右支树需要的数组存储单元为多少？

顺序存储仅适用于满或完全二叉树。

29:
树
二叉树
目标
哈夫曼树
2 二叉树
2.3 二叉树的存储结构
二叉树的链式存储结构：二叉链表

root
lchild data rchild

结点结构:
A
C
F
B
D
G







E


30:
树
二叉树
目标
哈夫曼树
2 二叉树
2.3 二叉树的存储结构
二叉树的链式存储结构：三叉链表
parent lchild data rchild

结点结构:
A
D
E
B
C
F








root



31:
树
二叉树
目标
哈夫曼树
2 二叉树
2.4 二叉树的遍历
二叉树的遍历方法：
层次遍历方法
DLR(先根遍历)
LDR(中根遍历)
LRD(后根遍历)
DRL；RDL；RLD

32:
树
二叉树
目标
哈夫曼树
2 二叉树
2.4 二叉树的遍历
二叉树的层次遍历：
若二叉树为空，则为空操作；否则，按自上而下先访问第0层的根结点，然后再从左到右依次访问各层次中的每一个结点。

A
B
C
D
E
F
H
G
K
层次遍历序列：
ABECFDGHK

33:
树
二叉树
目标
哈夫曼树
2 二叉树
2.4 二叉树的遍历
二叉树的先根(先序)遍历：
若二叉树为空树，则空操作；否则，
（1）访问根结点；
（2）先根遍历左子树；
（3）先根遍历右子树。
A
B
C
D
E
F
H
G
K
先根遍历序列：
ABCDEFGHK

34:
树
二叉树
目标
哈夫曼树
2 二叉树
2.4 二叉树的遍历
二叉树的中根(中序)遍历：
若二叉树为空树，则空操作；否则，
（1）中根遍历左子树；
（2）访问根结点；
（3）中根遍历右子树。
A
B
C
D
E
F
H
G
K
中根遍历序列：
BDCQEHGKF

35:
树
二叉树
目标
哈夫曼树
2 二叉树
2.4 二叉树的遍历
二叉树的后根(后序)遍历：
若二叉树为空树，则空操作；否则，
（1）后根遍历左子树；
（2）后根遍历右子树；
（3）访问根结点。
A
B
C
D
E
F
H
G
K
后根遍历序列：
DCBHKGFE

36:
第三节：哈夫曼树

The third chapter
内容展示
02

37:
树
哈夫曼树
目标
二叉树
3 哈夫曼树
3.1 哈夫曼树的基本概念
哈夫曼树的基本概念
结点的路径长度：
结点间的路径：
从一个结点到另一个结点所经历的结点和分支序列。
从根结点到该结点的路径上分支的数目。
结点的权：
在实际应用中，人们往住会给树中的每一个结点赋予一个具有某种实际意义的数值，这个数值被称为该结点的权值。

38:
树
哈夫曼树
目标
二叉树
3 哈夫曼树
3.1 哈夫曼树的基本概念
哈夫曼树的基本概念
树的带权路径长度：
结点的带权路径长度：
结点的路径长度与该结点的权值的乘积。
树中所有叶结点的带权路径长度之和 。
假设树上有 n 个叶结点，通常记作:

其中Li为带权 wi的叶子结点的带权路径长度。

39:
树
哈夫曼树
目标
二叉树
3 哈夫曼树
3.1 哈夫曼树的基本概念
哈夫曼树的基本概念
最优二叉树：
给定n个权值并作为n个叶结点按一定规则构造一棵二叉树，使其带权路径长度达到最小值，则这棵二叉树被称为最优二叉树。也称哈夫曼树。
在所有含 n 个叶子结点、并带相同权值的 二叉树中，必存在一棵其带权路径
长度取最小值的树，这树就是“最优树”。

40:
树
哈夫曼树
目标
二叉树
3 哈夫曼树
3.1 哈夫曼树的基本概念
哈夫曼树的基本概念

2
7
5
4
9
WPL(T)= 72+52+23+43+92 =60
WPL(T)= 74+94+53+42+21 =89

7 9

2
5
4
对应权值

41:
树
哈夫曼树
目标
二叉树
3 哈夫曼树
3.2 构造哈夫曼树
哈夫曼树的算法
(1) 根据给定的 n 个权值 {w1, w2, …, wn}， 构造 一个由n 棵二叉树所构成的森林 F = {T1, T2, … , Tn}，其中每一棵二叉树只有一个根结点，并且根结点的权值分别为w1, w2, …, wn。
(2)在二叉树森林F中选取根结点的权值最小和次小的两棵二叉树，分别把它们作为左子树和右子树去构造一棵新二叉树，新二叉树的根结点权值为其左、右子树根结点的权值之和。
(3) 作为新二叉树的左、右子树的这两棵二叉树从森林F中删除，同时加入刚生成的新二叉树；
(4) 重复 (2) 和 (3) 两步，直至 F 中只含一棵二叉树为止，则这种棵二叉树就是所构成的哈夫曼树。

42:
树
哈夫曼树
目标
二叉树
3 哈夫曼树
3.2 构造哈夫曼树
哈夫曼树的算法
9
例如: 已知权值 W={ 5, 6, 2, 9, 7 }
5
6
2
7
5
2
7
6
9
7
6
7
13
9
5
2
7

43:
树
哈夫曼树
目标
二叉树
3 哈夫曼树
3.2 构造哈夫曼树
哈夫曼树的算法
6
7
13
9
5
2
7
9
5
2
7
16
6
7
13
29
0
0
0
0
1
1
1
1
00
01
10
110
111
哈夫曼码
9
5
2
7
16

44:
树
哈夫曼树
目标
二叉树
3 哈夫曼树
3.2 构造哈夫曼树
用哈夫曼树进行译码
指的是，任何一个字符的编码都不是同一字符集中另一个字符的编码的前缀。
前缀编码：
哈夫曼编码是一种前缀码。
从哈夫曼树的根开始，从左到右把二进制编码的每一位进行判别，若遇到0，则选择左分支走向下一个结点；若遇到1，则选择右分支走向下一个结点，直至到达一个树叶结点，便求得相应字符。
译码过程是编码过程的逆过程：

45:
树
哈夫曼树
目标
二叉树
3 哈夫曼树
3.2 构造哈夫曼树
哈夫曼树的算法

46:
树
哈夫曼树
目标
二叉树
3 哈夫曼树
3.2 构造哈夫曼树
哈夫曼树的算法

47:
树
哈夫曼树
目标
二叉树
3 哈夫曼树
3.1 哈夫曼树的基本概念
哈夫曼树的基本概念

48:
树
哈夫曼树
目标
二叉树
3 哈夫曼树
3.1 哈夫曼树的基本概念
哈夫曼树的基本概念

49:
树
哈夫曼树
目标
二叉树
2 二叉树
2.4 哈夫曼树及哈夫曼编码
二叉树的层次遍历：

50:
树
哈夫曼树
目标
二叉树
2 二叉树
2.4 哈夫曼树及哈夫曼编码
二叉树的层次遍历：

51:
树
哈夫曼树
目标
二叉树
2 二叉树
2.4 哈夫曼树及哈夫曼编码
二叉树的层次遍历：

52:
树
哈夫曼树
目标
二叉树
2 二叉树
2.4 哈夫曼树及哈夫曼编码
二叉树的层次遍历：

53:
树
哈夫曼树
目标
二叉树
2 二叉树
2.4 哈夫曼树及哈夫曼编码
二叉树的层次遍历：

54:
树
哈夫曼树
目标
二叉树
2 二叉树
2.4 哈夫曼树及哈夫曼编码
二叉树的层次遍历：

55:
树
哈夫曼树
目标
二叉树
2 二叉树
2.4 哈夫曼树及哈夫曼编码
二叉树的层次遍历：

56:
树
哈夫曼树
目标
二叉树
2 二叉树
2.4 哈夫曼树及哈夫曼编码
二叉树的层次遍历：

57:
树
哈夫曼树
目标
二叉树
2 二叉树
2.4 哈夫曼树及哈夫曼编码
二叉树的层次遍历：

58:
Thank You!
力学笃行 志存高远