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固体物理复习(一)晶体结构描述和布拉格定律

本文主要是介绍固体物理复习(一)晶体结构描述和布拉格定律,对大家解决编程问题具有一定的参考价值,需要的程序猿们随着小编来一起学习吧!

预备知识

1.晶胞

Crystal structure = Lattice(点阵) * Basis(基元)

以NaCl为例, NaCl晶体的点阵为面心立方结构, 其基元包含一个Na和一个Cl.

三维点阵的类型:
Triclinic: a1!=a2!=a3, θ1!=θ2!=θ3 ,修饰 P
Monoclinic:  a1!=a2!=a3, θ12=90°!=θ3,P,C
Orthorhombic: a1!=a2!=a3,  θ123=90°,P,I,F,C 
Tetragonal: a1=a2!=a3, θ123=90°,P,I
Cubic: a1=a2=a3,  θ123=90°,P,I,F
Trigonal: a1=a2=a3,  θ123<120°, !=90°,P
Hexagonal: a1=a2!=a3, θ12=90°, θ3=120°,P

P=原胞(1个点阵点), I=体心(2点阵点), F=面心(4点阵点), C=Side-centred, 即在顶面和底面添加点阵点

4种修饰*7种晶格系统组合起来得到14种Bravais点阵 

2. 对称操作

平移对称操作: T=u1a1+u2a2+u3a3, u1u2u3为整数,  a1a2a3为基矢

     基矢 a1a2a3 = 晶格常数 a1a2a3

点对称操作: 对应群论的点群操作

3. 原胞

原胞(primitive cell):点阵中的最小晶胞, 一个点阵点对应一个原胞.

wigner-seitz胞:划分原胞的一种方式, 取点间连线的中垂线围成的最小面积.

(wigner-seitz胞示意图)

正格子与倒格子

1.正格子

正格子中的布拉格定律:

2dsinθ=nλ

2.倒格子

由于正格子的布拉格理论无法描述散射的强度, 因此要对正格子进行傅里叶变化

首先将一维电子浓度n(r)进行傅里叶展开

n(r)=n0+Σ(Cpcosθ+Spsinθ)

     =Σnpexp(iθ), 令-np=np*使n(r)为实数

θ=2πpx/a

由此引出倒格子的概念, 2πp/a为晶体倒格子, 或在傅里叶空间中的一个点.

推广到三维有

n(r)=ΣnGexp(iG*r)

G=v1b1+v2b2+v3b3,

b1=2π·a2xa3/(a1·a2xa3), b2=2π·a3xa1/(a1·a2xa3),b3=2π·a1xa2/(a1·a2xa3)

倒格子空间中的Wigner-Seitz胞称为布里渊区, 布里渊区在晶体电子能带理论中有重要地位

接下来推导倒格子的布拉格定律:

首先引入散射振幅F的定义

F=∫dVn(r)exp(-iΔk·r)

Δk为散射波与入射波的波矢差k'-k

将n(r)傅里叶展开

F=∫dVΣnGexp(iG*r)exp(-iΔk·r)

  =Σ∫dVnGexp(i(G-Δkr)

由此可以看出, 当Δk=G时F=VnG, 发生弹性散射.

发生弹性散射时, 光子能量E=ћω守恒, ω=ck, 因此入射波波矢大小与散射波波矢相等, 即k2=k'2

因为k+G=k', 所以综上有(k+G)2=k'2

即2k·G=G2, 此即倒格子空间的布拉格定律的形式.

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