1.问题
矩阵链乘法
2.解析
动态规划法
Ai…j:表示矩阵链相乘的子问题AiAi+1…Aj;
m[i…j]:表示得到乘积Ai…j所用的最少基本运算次数；
假定，最后一次相乘发生在矩阵链Ai…k和Ak+1…j之间，即
AiAi+1…Aj=(AiAi+1…Ak)×(Ak+1Ak+2…Aj) k=I,i+1,…,j-1
e.g. Ai(Ai+1…Aj);(AiAi+1)(Ai+2…Aj);…;(AiAi+1Ai+2…)(Aj-1Aj);(AiAi+1Ai+2…Aj-1)Aj
0 i=j
m[i…j]={
min{m[I,k]+m[k+1,j]+Pi=1PkPj}(i<=k<j) i<j
其中Ai=Pi-1×Pi,Ak=Pk-1×Pk,Aj=Pj-1×Pj
AiAi+1…Aj=(AiAi+1…Ak)(Ak+1Ak+2…Aj)
→(Pi-1Pk)(PkPj)
→Pi-1PkPj
命题m[i…j]= min{m[I,k]+m[k+1,j]+Pi=1PkPj}(i<=k<j) 满足优化原则，即m[i…j]最小值时，m[i,k]和m[k+1,j]也是最小的。
3.设计
MatrixChain(P,n)
输入：矩阵链A1…n的输入为向量P=<P0,P1,…,Pn>
输出：计算Ai…j的所需最小乘法运算此时m[i,j]和最后一次运算的位置s[i,j],1≤i≤j≤n
令所有的m[i,j]初值为0，s[i,j]初值为i,1≤i≤j≤n
for r=2 to n do　　　　//r为当前问题规模（长度）
for i=1 to n-r+1 do　　　　//i的起点不断变化，各种r长
j=i+r-1　　　　　//不同终点
m[i,j]=m[i+1,j]+Pi-1PiPj　　//划分为Ai(Ai+1···Aj)
s[i][j]=i　
for k=i+1 to j-1 do//不同的划分位置
t=m[i,k]+m[k+1,j]+Pi-1PkPj　
if t＜m[i,j]　　　　
then m[i,j]=t
s[i,j]=k
4.分析
T(n)=O(n^3)
5.源码
https://github.com/jinwanzaodianshui/zuoye8