Faith can move mountains.

信念能战胜一切。

问题一

给定一个无重复元素的数组 candidates 和一个目标数 target ，找出 candidates 中所有可以使数字和为 target 的组合。

说明：

所有数字（包括 target）都是正整数。

解集不能包含重复的组合。 

candidates 中的数字可以无限制重复被选取。

示例 1:

输入: candidates = [2,3,6,7]

target = 7

 

所求解集为:

[

  [7],

  [2,2,3]

]

示例 2:

输入: candidates = [2,3,5]

target = 8

 

所求解集为:

[

  [2,2,2,2],

  [2,3,3],

  [3,5]

]

问题分析

文中说的很明白，从candidates中找到一些数字让他们的和等于target，总共有多少种方式，并且candidates中的数字可以重复使用。我们可以先选择一个数字，用target减去他，然后再重复选择……，当target等于0的时候说明我们找到了一种组合。当target小于0的时候，说明没有找到合适的，我们回到上一步再重新选择数字……。看到这题我们首先想到的是N叉树，我们就以示例2为例画个图来看下

这和二叉树的前序遍历非常相似，他先从根节点一直往左走，直到走到叶子节点为止，然后再回到父节点按同样的方式走右节点的路径，不了解前序遍历的可以看一下373，数据结构-6,树，代码如下

1public void preOrder(TreeNode tree) {
   if (tree == null)
       return;
   System.out.println(tree.val);
   preOrder(tree.left);
   preOrder(tree.right);
7}

而N叉树的前序遍历和他类似

1public void preOrder(TreeNode tree) {
   if (tree == null)
       return;
   System.out.println(tree.val);
   preOrder("第一个子节点");
   preOrder("第二个子节点");
   ……
   preOrder("第N个子节点");
9}

这样写也是可以的，但不方便，我们一般会使用一个for循环来写

1public void preOrder(TreeNode root) {
   if (root == null)
       return;
   System.out.println(root.val);
   //root.children获取root节点的所有子节点
   for (int i = 0; i < root.children.size(); i++) {
       preOrder(root.children.get(i));
   }
9}

搞懂了上面的分析过程，代码就简单多了，我们来看下

 1public static List<List<Integer>> combinationSum(int[] candidates, int target) {
   List<List<Integer>> result = new ArrayList<>();
   backtrack(result, new ArrayList<>(), candidates, target);
   return result;
 5}

 7private static void backtrack(List<List<Integer>> result, List<Integer> cur, int candidates[], int target) {
   if (target == 0) {
       result.add(new ArrayList<>(cur));
       return;
   }
   //相当于遍历N叉树的子节点
   for (int i = 0; i < candidates.length; i++) {
       //如果当前节点大于target我们就不要选了
       if (target < candidates[i])
           continue;
       //由于在java中List是引用传递，所以这里要重新创建一个
       List<Integer> list = new ArrayList<>(cur);
       list.add(candidates[i]);
       backtrack(result, list, candidates, target - candidates[i]);
   }
22}

我们来看下运行结果

[2, 2, 2, 2][2, 3, 3][3, 2, 3][3, 3, 2][3, 5][5, 3]

完全出乎我们的意料之外，这是因为出现了重复的数据，[2,3,3],[3,2,3],[3,3,2]其实应该只算一个。在上面的图中我们分析过，如果选择了后面的数字就不能再选择前面的了，因为这样会出现重复，所以我们可以添加一个变量start表示访问的数组中元素的位置，我们只能访问start和start后面的数字，我们再来看下代码

 1public static List<List<Integer>> combinationSum(int[] candidates, int target) {
   List<List<Integer>> result = new ArrayList<>();
   backtrack(result, new ArrayList<>(), candidates, target, 0);
   return result;
 5}

 7private static void backtrack(List<List<Integer>> result, List<Integer> cur, int candidates[], int target, int start) {
   if (target == 0) {
       result.add(new ArrayList<>(cur));
       return;
   }
   //相当于遍历N叉树的子节点
   for (int i = start; i < candidates.length; i++) {
       //如果当前节点大于target我们就不要选了
       if (target < candidates[i])
           continue;
       //由于在java中List是引用传递，所以这里要重新创建一个
       List<Integer> list = new ArrayList<>(cur);
       list.add(candidates[i]);
       backtrack(result, list, candidates, target - candidates[i], i);
   }
22}

注意这里第13行的for循环不是从0开始了，再来看下运行结果

[2, 2, 2, 2][2, 3, 3][3, 5]

和我们图中分析的完全一致，并且也没有了重复的。在上面的18行我们是新建了一个list，其实我们还可以不用新建，在回溯的时候把它移除即可，可以这样写

 1public static List<List<Integer>> combinationSum(int[] candidates, int target) {
   List<List<Integer>> result = new ArrayList<>();
   getResult(result, new ArrayList<>(), candidates, target, 0);
   return result;
 5}

 8private static void getResult(List<List<Integer>> result, List<Integer> cur, int candidates[], int target, int start) {
   if (target == 0) {
       result.add(new ArrayList<>(cur));
       return;
   }
   for (int i = start; i < candidates.length; i++) {
       if (target < candidates[i])
           continue;
       //选择当前节点，类似于从当前节点开始往下遍历
       cur.add(candidates[i]);
       getResult(result, cur, candidates, target - candidates[i], i);
       //回到当前节点的时候我们把当前节点给移除,
       // 然后通过循环走同一层的其他节点。
       //举个例子，比如上面图中，最开始的时候
       // 我们先选择2，然后沿着这个分支走下去，
       //当回到当前分支的时候我们把2给移除，然后
       // 选择同一层的下一个3，沿着这个节点
       //分支走下去……
       cur.remove(cur.size() - 1);
   }
28}

搞懂了上面的题，我们再来看一个非常相似的题

问题二

给定一个数组 candidates 和一个目标数 target ，找出 candidates 中所有可以使数字和为 target 的组合。

说明：

所有数字（包括目标数）都是正整数。

解集不能包含重复的组合。

candidates 中的每个数字在每个组合中只能使用一次。

示例 1:

输入: candidates = [10,1,2,7,6,1,5]

 target = 8

 

所求解集为:

[

  [1, 7],

  [1, 2, 5],

  [2, 6],

  [1, 1, 6]

]

示例 2:

输入: candidates = [2,5,2,1,2]

 target = 5

 

所求解集为:

[

  [1,2,2],

  [5]

]

问题分析

这道题和第一道题不同的是，这道题数组中的数字只能被选择一次，而第一道题数组中的数字可以被选中无数次。解题思想还是一样的，我们要做的是怎么过滤掉重复的，首先可以对原数组进行排序，排序之后相同的肯定是挨着的，if（candidates[i] == candidates[i - 1]）我们就过滤掉candidates[i]，我们就仿照第一道题来写下这道题的答案

 1public List<List<Integer>> combinationSum2(int[] candidates, int target) {
   List<List<Integer>> list = new LinkedList<>();
   Arrays.sort(candidates);//先排序
   backtrack(list, new ArrayList<>(), candidates, target, 0);
   return list;
 6}

 8private void backtrack(List<List<Integer>> list, List<Integer> cur, int[] candidates, int target, int start) {
   if (target == 0) {
       list.add(new ArrayList<>(cur));
       return;
   }
   for (int i = start; i < candidates.length; i++) {
       if (target < candidates[i])
           continue;
       if (i > start && candidates[i] == candidates[i - 1])
           continue; //去掉重复的
       cur.add(candidates[i]);
       backtrack(list, cur, candidates, target - candidates[i], i + 1);
       cur.remove(cur.size() - 1);
   }
22}

我们发现和第一道题很相似，只不过在第3行先做了排序，第16-17行做了去重，由于不能选择重复的，所以在第19行选择一个之后我们从当前元素的下一个进行选择

总结

类似这样的题我们可以把它想象为一棵N叉树，我们先选择一个，然后再递归选择（根据是否可以选择重复的有不同的选择，如果允许有重复的，我们递归的时候还可以再选择当前的，如果不允许有重复的，我们递归的时候就从当前的下一个开始选择），沿着这个分支走完之后我们会把当前节点删除，然后再从下一个分支走……

●373，数据结构-6,树

●371，背包问题系列之-基础背包问题

●372，二叉树的最近公共祖先

●387，二叉树中的最大路径和

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