• 前言
• 概况
• 操作
  • split（分树）
    • 按权值分
    • 按大小分
  • merge（合并）
  • Insert
  • Delete
  • query_Rank
  • query_Kth
  • query_pre
  • query_suc
  • find
  • 黑科技
• 后记

前言

上文介绍了普通的平衡树，它简单（奇怪，鬼畜）的旋转操作确实死难写也难调（刚写挂一个），于是跑去学了一个不用旋转的平衡树，无旋 \(Treap (FHQ~~Treap)\)

只需要两个操作达到 \(bst，treap，splay\) 全部功能 ？？ 太炫酷了

概况

\(FHQ~~Treap\) 和普通的 \(Treap\) 一样每个节点维护两个值，一个是权值，一个是随机值

但是它不再是用旋转来维护，而是通过 \(split\) 和 \(merge\) 进行维护

操作

split（分树）

把一个 \(Treap\) 分成两个

两种：按权值分，按子树大小分

复杂度 \(O(log n)\)

按权值分

把权值小于 \(k\) 的节点都分到一棵树中，其余的点都分到另一棵树中

设第一棵树的权值小于第二棵树

如果当前节点权值小于 \(k\) 那么它的左子树都会分到第一棵树内，然后更新它的右子树

否则该节点的右子树都会分到第二棵子树内，然后更新它的左子树

注意理解 & 的含义

\(k = 9\) 的时候

void split(int root, int key, int &x, int &y) { // x, y即分裂出的两个树
    if (root == 0) {
        x = y = 0;//递归边界
        return;
    }
    if (Tree[root].Key <= key) { 
        x = root;
        split(Tree[root].Right, key, Tree[root].Right, y); 
    } else {
        y = root;
        split(Tree[root].Left, key, x, Tree[root].Left);
    }
    pushup(root);
}    

按大小分

把一棵树分成两棵树，其中一棵的大小为 \(k\)

和 \(Treap\) 的 \(Kth\) 操作类似

如果当前点的左子树大小大于 \(k\) ，向左子树继续查找

否则的话该点的左子树一定在大小为 \(k\) 的树中，然后使右子树分出 \(k - siz[p] - 1\) 大小的子树

void split(int root, int sze, int &x, int &y) {
	if (root == 0) {
		x = y = 0;
		return;
	}
	if (Tree[Tree[root].Left].Size + 1 <= sze) {
		x = root;
		split(Tree[root].Right, sze - Tree[Tree[root].Left].sze - 1, Tree[root].Right, y);
	} else {
		y = root;
		split(Tree[root].Left, sze, x, Tree[root].Left);
	}
	push_up(root);
}

merge（合并）

到这才有平衡树内味了

把两个 \(Treap\) 合并，设第一个树的权值小于第二个树的权值

在这利用每个节点的随机值对两个树进行合并，来维护树的形态

如果第一个的随机值小，就保留它的左子树，把第一个 \(Treap\) 变成它的右子树，否则就保

留第二棵树的右儿子，指针指向它的左儿子

也可以理解为在第一棵树右子树插第二棵树，在第二棵树的左子树插第一个树，因为第一树

的权值都小于第二棵树，所以利用随机值来维护树的形态

时间复杂度 \(O(n)\)

int merge(int x, int y) {
    if (x == 0 || y == 0) return x + y; //相当于返回0 或者 返回 x, y 不为 0 的一个
    if (Tree[x].Priority > Tree[y].Priority) {
        Tree[x].Right = merge(Tree[x].Right, y);
        pushup(x);
        return x;
    } else {
        Tree[y].Left = merge(x, Tree[y].Left);
        push_up(y);
        return y;
    }

Insert

把新节点 \(key\) 看做一棵树，先把选树按照 \(key\)​ 值分成两棵树，然后把新节点与它们两两合并

void insert(int key) {
    int x, y;
    split(Root, key - 1, x, y);
    Root = merge(merge(x, create(key)), y);
}

Delete

先把整个树按照 \(key\) 分裂为 \(x, z\) ，然后按照 \(key - 1\) 把 \(x\) 分裂为 \(x, y\) ，显然此时 \(y\) 上

的结点的值都等于 \(key\)，如果删掉一个点，就把 \(y\) 左右子树合并（根就没了），然后再合

并 \(x, y, z\) ，如果删除所有的权值为 \(key\) 的点，那就直接合并 \(x,z\) 就好了

void Delete(int key) {
    int x, y, z;
    split(Root, key, x, z);
    split(x, key - 1, x, y);
    if (y) { // 如果删除所有，就直接去掉这个if语句块，并且下面的只合并x, z
        y = merge(Tree[y].Left, Tree[y].Right);
    } 
    Root = merge(merge(x, y), z);
}

query_Rank

查权值为 \(key\) 的元素排名是多少

先按照 \(key - 1\) 分树，然后 \(key\) 的排名就为 \(key-1\) 的树的大小 + 1

int query_Rank(int key) {
    int x, y, ans;
    split (Root, key - 1, x, y);
    ans = Tree[x].Size + 1;
    Root = merge(x, y);
    return ans;
}

query_Kth

和 \(Treap\) 的操作一个样

int query_Kth(int r) {
    int root = Root;
    while (true) {
        if (Tree[Tree[root].Left].Size + 1 == r) {
            break;
        } else if (Tree[Tree[root].Left].Size + 1 > r) {
            root = Tree[root].Left;
        } else {
            r -= Tree[Tree[root].Left].Size + 1;
            root = Tree[root].Right;
        }
    }
    return Tree[root].Key;
}

还有一种写法就是按照树大小对树三分（比上面慢点）

int query_Kth(int r) {
    int x, y, z;
    split(Root, r - 1, x, y);
    split(y, 1, y, z);
    T ans = Tree[y].Key;
    Root = merge(merge(x, y), z);
    return ans;
}

query_pre

按照权值 \(key - 1\) 进行分树，然后在 \(key - 1\) 的树上找个最大值

int query_pre(int key) {
    int x, y, root, ans;
    split(Root, key - 1, x, y);
    root = x;
    while (Tree[root].Right) root = Tree[root].Right;
    ans = Tree[root].Key;
    Root = merge(x, y);
    return ans;
}

query_suc

和上面原理一个样，就是在另一棵树上取最小值

int query_suc(int key) {
    int x, y, root, ans;
    split(Root, key, x, y);
    root = y;
    while (Tree[root].Left) root = Tree[root].Left;
    ans = Tree[root].Key;
    Root = merge(x, y);
    return ans;
}

find

查询元素是否存在

bool find(T key) {
    int x, y, z;bool ans;
    split(Root, key, x, z);
    split(x, key - 1, x, y);
    if (Tree[y].Size) ans = true;
    else ans = false;
    Root = merge(merge(x, y), z);
    return ans;
}

黑科技

垃圾回收优化

对于删除的那些节点，我们可以离线用栈存起来，如果新建节点中有找个点那就可以不用操作了

void Delete(int key) {
    int x, y, z;
    split(Root, key, x, z);
    split(x, key - 1, x, y);
    if (y) {
        if(Top < (MaxSize >> 8) - 5) Stack[++Top] = y;
        y = merge(Tree[y].Left, Tree[y].Right);
    }
    Root = merge(merge(x, y), z);
}

int Insert(int key) {
    int root = Top ? Stack[Top--] : ++Total;
    Tree[root].Key = key;
    Tree[root].Size = 1;
    Tree[root].Left = Tree[root].Right = 0;
    Tree[root].Priority = rad();
    return root;
}

后记

本文参考：ctjcalc's blog

​ FHQ Treap小结（神级数据结构！）

​ fhq treap总结

%%%%%% 各位学长

\(finish\)