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控制理论个人学习笔记-非线性系统理论

本文主要是介绍控制理论个人学习笔记-非线性系统理论,对大家解决编程问题具有一定的参考价值,需要的程序猿们随着小编来一起学习吧!

目录
  • 非线性系统理论
    • 非线性系统的一般概念
    • 相平面基础
    • 非线性系统的相平面分析
    • 描述函数法基础
    • 非线性系统的描述函数法分析

非线性系统理论

非线性系统的一般概念

  • 典型非线性

    • 死区

    • 饱和

    • 间隙

    • 摩擦

    • 继电特性

  • 继电特性使得系统产生振荡,死区使得系统存在稳态误差,饱和使得系统的开环增益在饱和区下降,间隙降低系统的跟踪精度,摩擦造成系统低速运动的不平滑性。

  • 非线性系统的运动特点:稳定性;运动形式;自激振荡;频率响应

    • 稳定性

      非线性系统稳定性不仅与系统结构参数有关,而且与输入信号和初始条件有关(这是线性系统稳定性不要考虑的)。

    • 运动形式

      线性系统在任何初始偏移下的时间响应曲线都具有相同的形式,非线性系统则不然。当初始偏移变化以后,其时间响应曲线可以发生很大变化,可能由原来的振荡收敛形式变为非周期形式,甚至出现发散的情况。

    • 自激振荡

      对于非线性系统,由于振荡的振幅将受到非线性特性的限制,即使没有受到外界作用,也可能产生一定频率和振幅的稳态振荡。有时要避免,有时要利用。

    • 频率响应

      又称正弦稳态响应。对于非线性系统,输入信号是正弦信号时,其稳态输出通常是含有高次谐波分量的非正弦周期函数。

  • 非线性系统所研究的问题及方法

    主要研究自激振荡问题和利用非线性特性改善系统性能。

    分析方法有:

    相平面法——推广时域分析方法的一种图解分析法;

    描述函数法——本质一次谐波近似法;

    逆系统法——运用内环非线性反馈控制,构成伪线性系统,设计外环控制网络。

相平面基础

  • 相平面、相点、相轨迹
  • 相轨迹的绘制方法
  • 相轨迹的特点
  • 线性系统的相轨迹
  • 由相轨迹求某个过程所用时间

非线性系统的相平面分析

  • 非线性系统的相轨迹

  • 极限环

    若非线性系统的相轨迹在相平面图上表现为一个孤立的封闭曲线,所有附近的相轨迹都渐进地趋向或离开整个封闭的曲线,这个封闭曲线被称为极限环

  • 相轨迹的跳跃

  • 开关线变化对运动性能的影响

  • 有外作用时相轨迹的研究

描述函数法基础

  • 谐波线性化

  • 描述函数的定义

    描述函数\(N\)定义为非线性输出的基波分量与输入正弦量的复数比

    \(N=\frac{Y_1\ang\phi_1}{X\ang0}\)

  • 典型非线性特性的描述函数

    1. 计算在\(x=Xcos(\omega t)\)作用下的输出波形\(y(t)\)
    2. 计算\(y(t)\)的Fourier级数,找到\(A_1\)和\(B_1\) 基波分量\(y_1(t)=A_1cos(\omega t)+B_1sin(\omega t)\) 写成形式\(Y_1cos(\omega t+\phi_1)\)
    3. 复数\(N=\frac{Y_1\ang \phi_1}{X\ang0}\)
  • 描述函数法的物理意义

    线性环节的频率特性函数与输入信号振幅无关,

    非线性环节的描述函数是输入信号幅值的函数\(N(A)\)。

非线性系统的描述函数法分析

  • 可以证明,描述函数法是非线性特性在均方差意义下的最优逼近。

  • 描述函数法的应用前提 (注意!!!!)——或者说描述函数法合理性的简单论证

    设非线性系统经过变换和归化,可表示为非线性部分\(N\)和线性部分G相串联的典型反馈结构。

    在这里插入图片描述

    描述函数法基于这样的假设,即当系统处于自激振荡时,非线性部分和线性部分的输入、输出均为同频率的正弦信号。在这种条件下,非线性部分的特性可用描述函数表示,线性部分的特性可用频率特性表示,从而建立起非线性系统自振时的理论模型。

    自振是由非线性系统内部自发的持续振荡,和外作用无关。假设自振时非线性部分的输入端为正弦信号\(x(t)=Xsin(\omega t)\) ,其输出除基波分量外,还有高次谐波分量。一般,高次谐波的振幅较基波振幅小,而在通过线性部分之后,由于线性部分的低通滤波效应,将使高次谐波分量进一步衰减,致使线性部分的输出可以认为只是基波分量的响应。

    综上所述,应用描述函数法分析非线性系统的前提是:

    1. 非线性特性具有奇对称性;(保证输出不含直流分量)
    2. 非线性系统可以归化为图9-5的典型结构;
    3. 非线性部分输出\(y(t)\)中的基波分量最强; (这样的话近似就显得合理)
    4. 线性部分\(G(j\omega)\)的低通滤波效应较好。
  • 周期运动解与自激振荡

  • 稳定性分析

    定义一个非线性系统是稳定的:本来在平衡位置,在受到扰动后,能够恢复原来的平衡位置

    定义一个非线性系统是不稳定的:本来在平衡位置,受到扰动后,其输出将偏离,不能复原原来的平衡位置

    介于稳定与不稳定之间的状态就是临界状态,周期运动解就是一种临界状态。

  • 结构规化问题——即化简为典型结构的方法

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