采样控制系统(即脉冲控制系统)-信号是脉冲序列形式
数字控制系统(即计算机控制系统)-信号是数字序列形式
离散系统的特点
数字控制系统的特点:具有控制精度高,控制速度块及性能价格比高等特点,很好的通用性
采样过程
采样过程的数学描述
Shannon采样定理
信号保持
保持器的数学作用:解决各离散采样点之间的插值问题
零阶保持器的传函为$$G_h(s)=\frac{1-e^{Ts}}{s}$$ ,其中\(T\)是保持时间
零阶保持器是一种按常值外推的保持器,它把前一采样时刻\(nT\)的采样值一直保持到下一个采样时刻\((n+1)T\)到来之前。零阶采样器的采样信号是阶梯信号。取阶梯信号的中点连接起来,则可以得到与连续信号形状相同但时间滞后\(T/2\)的响应\(\bold{e}(t-T/2)\)。(当然是在\(T\)足够小的前提下)
描写离散系统的数学形式——差分方程
线性离散系统差分方程及其解法
↓求脉冲传递函数(重点)↓
对一个连续函数做Z变换是什么意思?
我的理解是做代换 \(t=nT\),然后对那个离散序列做z变换。
脉冲传递函数
\(G(z)=\mathscr{Z}[G(s)]\) (\(\mathscr{Z}\)是花体Z)
\(G(z)=Z[g^*(t)]=Z[g(t)]=Z[G^*(s)]=Z[G(s)]\)
开环系统脉冲传递函数
串联环节之间有采样开关的情况:有理想采样器隔开的n个线性连续环节串联的脉冲传函等于n个环节z变换的乘积。
串联环节之间没有采样开关的情况:没有理想采样器隔开的n个线性连续环节串联的脉冲函数等于n个环节乘积后的z变换
理解的策略:采样开关分隔成为几段,段内直接\(G_1(s)G_2(s)...G_n(s)\),然后做Z变换,每段都是z的表达式,这些表达式再乘起来。
有零阶保持器的开环系统脉冲传递函数:此时,开环系统脉冲传函为
\(G(z)=\frac{C(z)}{R(z)}=(1-z^{-1})\mathscr{Z}[\frac{G_p(s)}{s}]\)
闭环系统脉冲传递函数
求闭环系统脉冲传函,一般先设第一个采样开关两侧的信号为\(E(z)\),然后根据信号在前向通路及回路中的流动形式,列写出一系列方程,解得闭环系统脉冲传函。
↑求脉冲传递函数(重点)↑
离散系统稳定的条件
时域中离散系统稳定的充要条件
当且仅当描述离散系统的差分方程所有特征根的模\(|a_i|<1(i=1,2,...,n)\),稳定
z域中离散系统稳定的充要条件
当且仅当所有特征根的模均小于1,稳定
离散系统的稳定性判据
\(\omega\)变换与劳斯判据。如果用莫比乌斯变换\(z=\frac{\omega+1}{\omega-1}\)代入离散系统的闭环系统方程,并整理得到关于\(\omega\)的方程。于是可以利用劳斯判据判断离散系统的稳定性。
离散系统的稳态误差
终值定理法
即,数学上有,\(a_{ss}=\lim\limits_{z\rightarrow1}(z-1)A(z)\) 当然这要求序列a(和函数A的信息量一样)有较好的性质
静态误差系数法
\(k_p=\lim\limits_{z\rightarrow1}G(z)\)
\(k_v=\lim\limits_{z\rightarrow1}(z-1)G(z)\)
\(k_a=\lim\limits_{z\rightarrow1}(z-1)^2G(z)\)
\(1(t)\) | \(t\) | \(\frac{1}{2}t^2\) | |
---|---|---|---|
0型 | \(\frac{1}{1+k_p}\) | \(\infty\) | \(\infty\) |
1型 | 0 | \(\frac{T}{k_v}\) | \(\infty\) |
2型 | 0 | 0 | \(\frac{T^2}{k_a}\) |
离散系统的时间响应
(利用幂级数展开法)先求出部分点值,这些点值拟合曲线,然后计算时域里的那些指标
采样器和保持器对系统性能的影响
闭环极点与动态响应的关系
线性离散系统的设计方法分为模拟化设计和离散化设计两种。
1.模拟化设计是先把系统的数字部分等效为连续环节,然后按照连续系统理论设计校正装置,最后将校正装置数字化。
2.离散化设计法又称直接数字设计法,即把系统按离散化进行分析,求出系统的脉冲传函,然后按离散系统理论设计数字校正装置(又称数字控制器)
最少拍系统设计
离散系统的数字校正问题即确定数字控制器\(D(z)\)。具体方法:由离散系统性能指标确定闭环脉冲传函或误差传函,然后确定数字控制器的脉冲传函,并加以实现。
最少拍系统:一个采样周期为一拍,最少拍系统是指在典型输入作用下,能以有限拍结束响应过程,且在采样时刻上无稳态误差的离散系统。最少拍系统的设计是针对典型输入作用进行的。
最少拍系统的设计原则:若系统广义被控对象\(G(z)\)无延迟,且在z平面单位圆上以及单位圆外无零极点,要求选择闭环脉冲传函,使系统在典型输入作用下,经过最少采样周期后能使输出序列在各采样时刻的稳态误差为零,达到完全跟踪的目的,从而确定所需要的数字控制器的脉冲传函\(D(z)\)。
在各种典型输入作用下,由最少拍系统的输出响应序列可得以下结论:
- 快速性:按单位斜坡输入设计的最少拍系统,在各种典型输入作用下,动态过程均为两拍。
- 准确性:单位阶跃和单位斜坡输入的最少拍系统的稳态误差均为0,但对单位加速度输入存在的稳态误差为\(T\)。
- 动态性:系统对单位斜坡输入的动态响应性能较好,对单位阶跃响应性能较差。
- 平稳性:均存在波纹,不实用。
无波纹最少拍系统设计
无波纹最少拍系统的设计要求:在某种典型输入作用下设计的系统,其输出响应经过尽可能少的采样周期后,不仅在采样时刻上输出可以完全跟踪输入,而且在非采样时刻不存在波纹。
无波纹输出要求在有限个采样周期后,零阶保持器的输出达到相对稳定。要满足这一要求,除了采用前面介绍的最小拍系统设计方法外,还需要对被控对象的传函和闭环脉冲传函提出相应的要求。
无波纹最少拍系统\(\Rightarrow\)被控对象传函\(G_p(s)\)中,至少应包含\((q-1)\)个积分环节。
无波纹最少拍系统的附加条件:\(\Phi(z)\)的零点应抵消\(G(z)\)的全部零点,即应有:\(\Phi(z)=P(z)M(z)\),式中,\(M(z)\)为待定\(z^{-1}\)多项式。