设 \(f(n, k)\) 表示 \(n\) 个数的排列中逆序数为 \(k\) 的排列数。
最大的数 \(n\) 可能排在第 \(n - i\) 位,从而产生 \(i\) 个与 \(n\) 有关的逆序对,去掉 \(n\) 之后,剩下的 \(n - 1\) 个数的排列中有 \(k - i\) 个逆序对。
所以,\(\displaystyle f(n, k) = \sum_{i = 0}^{n - 1} f(n - 1, k - i)\)
同理有 \(\displaystyle f(n, k - 1) = \sum_{i = 0}^{n - 1} f(n - 1, k - 1 - i)\)
两式相减,可得 \(f(n, k) - f(n, k - 1) = f(n - 1, k) - f(n - 1, k - n)\)
递推公式为
\(f(n, k) = f(n, k - 1) + f(n - 1, k) - f(n - 1, k - n)\)
然后动态规划可得。
#include <bits/stdc++.h> using std::cin; using std::cout; using std::min; using ll = long long; const int N = 1010, K = 20010; const int mod = 1e9 + 7; int f[N][K]; void init() { for (int i = 1; i < N; ++i) f[i][0] = 1; for (int i = 2; i < N; ++i) { int x = i * (i - 1) / 2; for (int j = 1; j < min(x + 1, K); ++j) { f[i][j] = (1ll * f[i][j - 1] + f[i - 1][j]) % mod; if (j >= i) f[i][j] = (f[i][j] - f[i - 1][j - i] + mod) % mod; } } } int main() { std::ios::sync_with_stdio(false); cin.tie(nullptr); init(); int t; cin >> t; while (t--) { int n, k; cin >> n >> k; cout << f[n][k] << '\n'; } return 0; }