文章目录

• • • 一、矩阵乘法定义
    • 二、矩阵类封装
    • 三、矩阵乘法实现
    • • 1、 i j k ijk ijk 式
      • 2、 i k j ikj ikj 式
      • 3、 k i j kij kij 式
    • 四、时间测试
    • 五、原理分析
    • 六、最后结论

一、矩阵乘法定义

• 矩阵 A x × y A_{x \times y} Ax×y​ 和 矩阵 B u × v B_{u \times v} Bu×v​ 相乘的前提条件是 y = = u y==u y==u ，并且相乘后得到的矩阵为 C x × v C_{x \times v} Cx×v​（即 A A A 的行和 B B B 的列构成了矩阵 C C C 的行列）；

二、矩阵类封装

• 我们用 C++ 封装了一个 n × m n \times m n×m 的矩阵类，用二维数组来存储数据，定义如下：

#define MAXN 1000
#define LL __int64

class Matrix {
private:
	int n, m;
	LL** pkData;
public:
	Matrix() : n(0), m(0) {
		pkData = NULL;
	}
	void Alloc() {
		pkData = new LL *[MAXN];                       // 1)
		for (int i = 0; i < MAXN; ++i) {
			pkData[i] = new LL[MAXN];
		}
	}
	void Dealloc() {
		if (pkData) {
			for (int i = 0; i < MAXN; ++i) {           // 2)
				delete [] pkData[i];
			}
			delete[] pkData;
			pkData = NULL;
		}
	}
};

• 1） p k D a t a pkData pkData 可以认为是一个二维数组（ p k D a t a [ i ] [ j ] pkData[i][j] pkData[i][j] 就是矩阵第 i 行，第 j 列的数据），之所以这里用了二维指针，是因为当 MAXN 很大时，栈上分配不了这么多空间，容易导致栈溢出，所以通过 new 把空间分配在了堆上；
• 2）释放空间的时候，首先释放低维空间，再释放高维空间；

三、矩阵乘法实现

1、 i j k ijk ijk 式

• 最简单的矩阵乘法实现如下：

class Matrix {
	...
public:
	void Multiply_ijk(const Matrix& other, Matrix& ret) {
		// assert(m == other.n);
		ret.Reset(n, other.m);
		int i, j, k;
		for (i = 0; i < n; i++) {
			for (j = 0; j < other.m; j++) {
				for (k = 0; k < m; k++) {
					ret.pkData[i][j] += pkData[i][k] * other.pkData[k][j];
				}
			}
		}
	}
};

• 这种方法被称为 i j k ijk ijk 式，对矩阵乘法 A × B = C A \times B = C A×B=C，枚举 A A A 的每一行，再枚举 B B B 的每一列，分别对应相乘后放入矩阵 C C C 的对应位置中，如下图所示；
  

2、 i k j ikj ikj 式

• 对上述算法进行一些改进，交换两个内层循环的位置，得到如下算法：

class Matrix {
	...
public:
	void Multiply_ikj(const Matrix& other, Matrix& ret) {
		// assert(m == other.n);
		ret.Reset(n, other.m);
		int i, j, k;
		for (i = 0; i < n; i++) {
			for (k = 0; k < m; k++) {
				LL v = pkData[i][k];
				for (j = 0; j < other.m; j++) {
					ret.pkData[i][j] += v * other.pkData[k][j];
				}
			}
		}
	}
};

• 这种方法被称为 i k j ikj ikj 式，对矩阵乘法 A × B = C A \times B = C A×B=C，行优先枚举 A A A 的每一个格子，再枚举 B B B 的每一行，分别对应相乘后放入矩阵 C C C 的对应位置中，每次相乘得到的 C C C 都是部分积，如下图所示，用绿色的深浅来表示这个值是否已经完整求得；
  

3、 k i j kij kij 式

• 对上述算法再进行一些改进，交换两个外层循环的位置，得到如下算法：

class Matrix {
	...
public:
	void Multiply_kij(const Matrix& other, Matrix& ret) {
		// assert(m == other.n);
		ret.Reset(n, other.m);
		int i, j, k;
		for (k = 0; k < m; k++) {
			for (i = 0; i < n; i++) {
				LL v = pkData[i][k];
				for (j = 0; j < other.m; j++) {
					ret.pkData[i][j] += v * other.pkData[k][j];
				}
			}
		}
	}
};

• 这种方法被称为 k i j kij kij 式，对矩阵乘法 A × B = C A \times B = C A×B=C，列优先枚举 A A A 的每一个格子，再枚举 B B B 的每一行，分别对应相乘后放入矩阵 C C C 的对应位置中，每次相乘得到的 C C C 都是部分积，如下图所示，用绿色的深浅来表示这个值是否已经完整求得；
  

四、时间测试

• 由于矩阵乘法本身的时间复杂度是 O(N³) 的，所以数据量越大，越能看出实际效果；

五、原理分析

• 原因是因为 CPU 访问内存的速度比 CPU 计算速度慢得多，为了解决速度不匹配的问题，在 CPU 与 内存 之间加了高速缓存cache。高速缓存 cache 的存在大大提高了 CPU 访问数据的速度。但是当内存访问不连续的时候，就会导致 cache 命中率降低，所以为了加速，就要尽可能使内存访问连续，即不要跳来跳去。
• 矩阵

六、最后结论

• 运行速度： i k j ≈ k i j > i j k ikj \approx kij > ijk ikj≈kij>ijk
• 模板地址：矩阵乘法模板