玻璃猫 程序员小灰

在前两集漫画中，我们通过一个算法问题的完整解题过程，讲述了动态规划的基本概念和思想。没看过前两集的朋友可以点击下面的链接：

漫画：什么是动态规划？

什么是动态规划？（二）

在第二集的末尾，给出了一道动态规划的进阶题目——国王和金矿。让我们先来回顾一下问题：

有一个国家发现了5座金矿，每座金矿的黄金储量不同，需要参与挖掘的工人数也不同。参与挖矿工人的总数是10人（第二集说的是1000人，这里改动一下）。每座金矿要么全挖，要么不挖，不能派出一半人挖取一半金矿。要求用程序求解出，要想得到尽可能多的黄金，应该选择挖取哪几座金矿？

下面，继续我们的故事。

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方法一：排列组合

每一座金矿都有挖与不挖两种选择，如果有N座金矿，排列组合起来就有2^N种选择。对所有可能性做遍历，排除那些使用工人数超过10的选择，在剩下的选择里找出获得金币数最多的选择。

代码比较简单就不展示了，时间复杂度也很明显，就是O(2^N)。

F(n,w) = 0    (n<=1, w<p[0]);

F(n,w) = g[0]     (n==1, w>=p[0]);

F(n,w) = F(n-1,w)    (n>1, w<p[n-1])  

F(n,w) = max(F(n-1,w),  F(n-1,w-p[n-1])+g[n-1])    (n>1, w>=p[n-1])

其中第三条是补充上去的，原因不难理解。

方法二：简单递归

把状态转移方程式翻译成递归程序，递归的结束的条件就是方程式当中的边界。因为每个状态有两个最优子结构，所以递归的执行流程类似于一颗高度为N的二叉树。

方法的时间复杂度是O(2^N)。

方法三：备忘录算法

在简单递归的基础上增加一个HashMap备忘录，用来存储中间结果。HashMap的Key是一个包含金矿数N和工人数W的对象，Value是最优选择获得的黄金数。

方法的时间复杂度和空间复杂度相同，都等同于备忘录中不同Key的数量。

方法四：动态规划

方法利用两层迭代，来逐步推导出最终结果。在外层的每一次迭代，也就是对表格每一行的迭代过程中，都会保留上一行的结果数组 preResults，并循环计算当前行的结果数组results。

方法的时间复杂度是 O(n * w)，空间复杂度是(w)。需要注意的是，当金矿只有5座的时候，动态规划的性能优势还没有体现出来。当金矿有10座，甚至更多的时候，动态规划就明显具备了优势。

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