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运动会优化比赛模式问题，是公平分配问题

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2021第六届数维杯大学生数学建模 赛题已于5月27日公布，C题是"运动会优化比赛模式探索"。本文对赛题进行一些分析讨论。由于竞赛时间为 2021年5月27-30日20:00，目前尚处于竞赛中，本文仅做初步分析。

1. 赛题内容（运动会优化比赛模式探索）

在大学的运动会中，由于大学各学院同学人数与性别之间的差异很大，而且部分学院招收的体育特长生也参加运动会，这就导致各学院在运动会的成绩差异很大。部分学院常年排名领先，而另一些学院不论如何努力也很难取得很好的成绩，从而影响大家的参与热情。因此，我们需要研究如何改革赛制，以实现保障公平、兼顾效率的目标。

目前，某大学运动会的积分规则为：第一名得9分，第二名至第八名获得7至1分；各学院男生和女生累积得分最终构成团体得分。附件1中给出了该大学20个学院，104个专业，共计28523名学生的分布情况数据。本文将结合此数据，研究以下问题：

问题1：如果比赛允许若干学院合并后共同参加比赛，如何设计一个分组数量不低于12个组、各组人员总数和男女性别比较为均衡的优化分配模型？并对该分组方案的公平指数进行讨论。

问题2：如果对各学院按照甲组、乙组分类的模式进行比赛，如何设计一个最优的甲乙分组方案？并对该分组方案的公平指数进行讨论。

问题3：如果体育特长生可以跨学院参加比赛，如何设计一个尽量保障各学院比赛实力更为均衡的方案？如果特长生不参加比赛，如何设计一个对各学院相对公平的加权积分方案？

问题4：通过计算机仿真模拟或理论推导，证明上述四种优化比赛模式哪个更好?

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2. 赛题解读（运动会优化比赛模式探索）

赛题共有四个问题，问题 1～3 要求对于 4种运动会赛制改革的思路要求，分别设计具体的实现方案，以达到各参赛单位的公平性最优。问题 4 是比较所设计的 4种方案，哪种方案的公平性最好。

对于公平，每个人会有不同的理解。赛题也给出了多种不同的要求，即问题 1～3，分别体现出不同的追求公平的思想，也就是对公平的不同理解。

问题 1 通过合并组队，使各组人员总数和男女性别比较为均衡，这种思想是实现人数、比例的均衡。问题 2 通过分成甲组乙组比赛，使不同学院都有机会获得积分，这种思想是根据现有条件分类以减小使同类中个体的差异。

问题 3 的第一问要求“各学院比赛实力更为均衡”，这与“各学院/参赛单位相对公平”的含义并不完全相同，但是也可以通过假设将它们解释为同一概念，我认为各学院实力更均衡，就能“使各参赛单位相对公平”，这么想、这么假设也没错吧。

问题 3 的第二问要求“对各学院相对公平的加权积分方案”，与“各学院比赛实力更为均衡”是不同的，但也是另一种“使各参赛单位相对公平”的思路或方案，也可以通过假设使这一目标更具体、更容易以量化指标描述。

问题4 是不言而喻的。如果解决了问题 1～3，在每个问题的条件下已经提出了 4种设计方案，显然这些方案不是拍脑袋蒙出来的，而是按照某种评价指标优化而得到的，那么只要对比这 4种方案的指标性能，就可以证明其中哪一种优化比赛方式更好。

如果只考虑问题 1～3，虽然总的目标都是“相对公平”，但具体要求、具体目标也有细微差异。因此，对于每个问题，是可以设计不同的具体量化的优化指标函数的。

但是，考虑到问题 4的需要，也可以构造统一的量化优化指标函数，这对于解答问题 4 特别有利，直接比较问题 1～3 的统一量化指标就得到答案了。

因此，在解决问题 1～3 时，虽然是按照相应的评价指标进行优化，但各问题还要有统一的评价指标的。由于问题 1～3 的要求基本上都是“相对公平”，所以采用统一的评价指标也是完全合理、可行的。

3. 优化目标

问题 1 ～3 都是优化问题，要求根据不同要求或者说约束条件设计优化方案。

那么，首先要考虑优化目标是什么，能不能提出可量化、可计算的优化目标函数。不难看出，背景资料和每个问题中都涉及”公平“：问题 1、2 明确要求讨论 ”公平指数“，问题 3 要求设计”更为均衡“、”相对公平“的方案，问题 4 要求比较哪种优化模式更好。如何比较，根据什么比较，就是”公平“的程度，就是题目中所说的”公平指数“。

什么是”公平指数“，如何量化公平指数，给出公平指数的数学表达式？

注意，问题 1 的原文是 “各组人员总数和男女性别比较为均衡的优化分配模型”，并“讨论方案的公平指数”；问题 2 的原文是“最优的甲乙分组方案”，并“讨论方案的公平指数”。因此，求解这两个问题时的优化目标不是“公平指数”，但需要计算“公平指数”并与最初的方案进行比较，以展开讨论，并用于问题 4 的求解。

4. 公平分配问题

4.1 什么是公平分配？

分配公平是个人对所获报酬的公正知觉，也就是依据一定的标准对分配最终结果的评价，亦称结果公平。分配公平主要表现为个人消费品分配的相对公平，要求社会成员之间的收入差距不能过于悬殊。个人收入的社会分配是否公平，不取决于有没有差距，而取决于这种差距是否合法、合情合理、合乎民生发展。

4.2 公平指数

绝对不公平度

相对不公平度

4.3 公平分配问题常用算法

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