一.【作业信息】

二.【实验目的】
1.理解K-近邻算法原理，能实现算法K近邻算法；
2.掌握常见的距离度量方法；
3.掌握K近邻树实现算法；
4.针对特定应用场景及数据，能应用K近邻解决实际问题。

三.【实验内容】
1.实现曼哈顿距离、欧氏距离、闵式距离算法，并测试算法正确性。
2.实现K近邻树算法；
3.针对iris数据集，应用sklearn的K近邻算法进行类别预测。
4.针对iris数据集，编制程序使用K近邻树进行类别预测。

四.【实验过程】
1.

import math
from itertools import combinations
#p = 1 曼哈顿距离
#p = 2 欧氏距离
#p = inf 闵式距离minkowski_distance

#度量距离
def L(x, y, p=2):
 # x1 = [1, 1], x2 = [5,1]
	if len(x) == len(y) and len(x) > 1:
 		sum = 0
 		for i in range(len(x)):
 			sum += math.pow(abs(x[i] - y[i]), p)#求解sum=(|x1-y1|^p+|x2-y2|^p+...+|xi-yi|^p)
 		return math.pow(sum, 1/p)#对sum进行开根计算
    else:
 		return 0

实验结果：
x1 = [1, 1]
x2 = [5, 1]
x3 = [4, 4]

# x1, x2
#输入数据
for i in range(1, 5):
    r = { '1-{}'.format(c):L(x1, c, p=i) for c in [x2, x3]}
    # 一条语句循环两次x2、x3，当x2时，当前i产生一个值，当x3时，当前i产生一个值。
    print(min(zip(r.values(), r.keys())))
    print(min(zip(r.values(), r.keys())))

实验结果：

import numpy as np
import pandas as pd
import matplotlib.pyplot as plt
%matplotlib inline
from sklearn.datasets import load_iris
##载入Fisher的鸢尾花数据
from sklearn.model_selection import train_test_split
from collections import Counter

# data
iris = load_iris()#中文名是安德森鸢尾花卉数据集
df = pd.DataFrame(iris.data, columns=iris.feature_names)#是一个表格 
#加入一列为分类标签
df['label'] = iris.target# 表头字段就是key
df.columns = ['sepal length', 'sepal width', 'petal length', 'petal width', 'label']
# 选择其中的4个特征进行训练
# data = np.array(df.iloc[:100, [0, 1, -1]])

df
#输出表格

实验结果：

# 绘制数据散点图
plt.scatter(df[:50]['sepal length'], df[:50]['sepal width'], label='0') # 绘制前50个数据的散点图
plt.scatter(df[50:100]['sepal length'], df[50:100]['sepal width'], label='1') # 绘制50-100个数据的散点图
plt.xlabel('sepal length')
plt.ylabel('sepal width') # 设置x，y轴坐标名
plt.legend() # 绘图

实验结果：

#将标签为0、1的两种花，根据特征为长度和宽度打点表示
plt.scatter(df[:50]['sepal length'], df[:50]['sepal width'], label='0')
plt.scatter(df[50:100]['sepal length'], df[50:100]['sepal width'], label='1')
plt.xlabel('sepal length')
plt.ylabel('sepal width')
plt.legend()

data = np.array(df.iloc[:100, [0, 1, -1]])#按行索引，取出第0列第1列和最后一列，即取出sepal长度、宽度和标签
X, y = data[:,:-1], data[:,-1]#X为sepal length，sepal width y为标签
X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(X, y, test_size=0.2)# train_test_split函数用于将矩阵随机划分为训练子集和测试子集

# 建立一个类KNN，用于k-近邻的计算
class KNN:
    #初始化
    def __init__(self, X_train, y_train, n_neighbors=3, p=2): # 初始化数据，neighbor表示邻近点，p为欧氏距离
        self.n = n_neighbors
        self.p = p
        self.X_train = X_train
        self.y_train = y_train
    
    def predict(self, X):
        # 取出n个点，放入空的列表，列表中存放预测点与训练集点的距离及其对应标签
        knn_list = []
        for i in range(self.n): # 遍历邻近点
            dist = np.linalg.norm(X - self.X_train[i], ord=self.p) # 计算训练集和测试集之间的距离
            knn_list.append((dist, self.y_train[i]))
           #再取出训练集剩下的点，然后与n_neighbor个点比较大叫，将距离大的点更新
           #保证knn_list列表中的点是距离最小的点
            
        for i in range(self.n, len(self.X_train)): 
               '''此处 max(num,key=lambda x: x[0])用法：
               x:x[]字母可以随意修改，求最大值方式按照中括号[]里面的维度，
               [0]按照第一维，
               [1]按照第二维
               '''
            max_index = knn_list.index(max(knn_list, key=lambda x: x[0])) # 找出列表中距离最大的点
            dist = np.linalg.norm(X - self.X_train[i], ord=self.p) # 计算训练集和测试集之间的距离
            if knn_list[max_index][0] > dist:   # 若当前数据的距离大于之前得出的距离，就将数值替换
                knn_list[max_index] = (dist, self.y_train[i])
                
        # 统计
        knn = [k[-1] for k in knn_list]
        count_pairs = Counter(knn)   # 统计标签的个数
        max_count = sorted(count_pairs, key=lambda x:x)[-1]  # 将标签升序排列
        return max_count
    
    # 计算测试算法的正确率
    def score(self, X_test, y_test):
        right_count = 0 
        n = 10
        for X, y in zip(X_test, y_test):
            label = self.predict(X)
            if label == y:
                right_count += 1
        return right_count / len(X_test)

clf = KNN(X_train, y_train)

clf.score(X_test, y_test)

实验结果：
1.0

test_point = [6.0, 3.0]#预测点
print('Test Point: {}'.format(clf.predict(test_point)))

plt.scatter(df[:50]['sepal length'], df[:50]['sepal width'], label='0')
plt.scatter(df[50:100]['sepal length'], df[50:100]['sepal width'], label='1')
plt.plot(test_point[0], test_point[1], 'bo', label='test_point')
plt.xlabel('sepal length')
plt.ylabel('sepal width')
plt.legend()

输出结果：

from sklearn.neighbors import KNeighborsClassifier

clf_sk = KNeighborsClassifier()
clf_sk.fit(X_train, y_train)

clf_sk.score(X_test, y_test)

实验结果：
1.0

# kd-tree每个结点中主要包含的数据结构如下 class KdNode(object):
 def __init__(self, dom_elt, split, left, right):
 self.dom_elt = dom_elt # k维向量节点(k维空间中的一个样本点)
 self.split = split # 整数（进行分割维度的序号）
 self.left = left # 该结点分割超平面左子空间构成的kd-tree
 self.right = right # 该结点分割超平面右子空间构成的kd-tree
class KdTree(object):
 def __init__(self, data):
 k = len(data[0]) # 数据维度
 
 def CreateNode(split, data_set): # 按第split维划分数据集exset创建KdNode
 if not data_set: # 数据集为空
 return None
 # key参数的值为一个函数，此函数只有一个参数且返回一个值用来进行比较
 # operator模块提供的itemgetter函数用于获取对象的哪些维的数据，参数为需要获取的数据在对象
 #data_set.sort(key=itemgetter(split)) # 按要进行分割的那一维数据排序
 data_set.sort(key=lambda x: x[split])
 split_pos = len(data_set) // 2 # //为Python中的整数除法
 median = data_set[split_pos] # 中位数分割点 
 split_next = (split + 1) % k # cycle coordinates
 
 # 递归的创建kd树
 return KdNode(median, split, 
 CreateNode(split_next, data_set[:split_pos]), # 创建左子树
 CreateNode(split_next, data_set[split_pos + 1:])) # 创建右子树
 
 self.root = CreateNode(0, data) # 从第0维分量开始构建kd树,返回根节点
# KDTree的前序遍历 def preorder(root): 
 print (root.dom_elt) 
 if root.left: # 节点不为空
 preorder(root.left) 
 if root.right: 
 preorder(root.right)

#对构建好的kd树进行搜索，寻找与目标点最近的样本点：
from math import sqrt
from collections import namedtuple

#定义一个namedtuple,分别存放最近坐标点、最近距离和访问过的节点数
result = namedtuple("Result_tuple", "nearest_point nearest_dist nodes_visited")
 
def find_nearest(tree, point):
	k = len(point) # 数据维度
	def travel(kd_node, target, max_dist):
		if kd_node is None: 
			return result([0] * k, float("inf"), 0) # python中用float("inf")和float("-inf")表示正负
		nodes_visited = 1
 
		s = kd_node.split # 进行分割的维度
		pivot = kd_node.dom_elt # 进行分割的“轴”
 
		if target[s] <= pivot[s]: # 如果目标点第s维小于分割轴的对应值(目标离左子树更近)
			nearer_node = kd_node.left # 下一个访问节点为左子树根节点
			further_node = kd_node.right # 同时记录下右子树
		else: # 目标离右子树更近
			nearer_node = kd_node.right # 下一个访问节点为右子树根节点
			further_node = kd_node.left
		
		temp1 = travel(nearer_node, target, max_dist) # 进行遍历找到包含目标点的区域
 
		nearest = temp1.nearest_point # 以此叶结点作为“当前最近点”
		dist = temp1.nearest_dist # 更新最近距离
 
		nodes_visited += temp1.nodes_visited 

		if dist < max_dist: 
			max_dist = dist # 最近点将在以目标点为球心，max_dist为半径的超球体内
 
		temp_dist = abs(pivot[s] - target[s]) # 第s维上目标点与分割超平面的距离
		if max_dist < temp_dist: # 判断超球体是否与超平面相交
		return result(nearest, dist, nodes_visited) # 不相交则可以直接返回，不用继续判断
 
		#---------------------------------------------------------------------- 
		# 计算目标点与分割点的欧氏距离 
		temp_dist = sqrt(sum((p1 - p2) ** 2 for p1, p2 in zip(pivot, target))) 
 
		if temp_dist < dist: # 如果“更近”
			nearest = pivot # 更新最近点
			dist = temp_dist # 更新最近距离
			max_dist = dist # 更新超球体半径
 
		# 检查另一个子结点对应的区域是否有更近的点
		temp2 = travel(further_node, target, max_dist) 
 
		nodes_visited += temp2.nodes_visited
		if temp2.nearest_dist < dist: # 如果另一个子结点内存在更近距离
			nearest = temp2.nearest_point # 更新最近点
			dist = temp2.nearest_dist # 更新最近距离

		return result(nearest, dist, nodes_visited)
	
	return travel(tree.root, point, float("inf")) # 从根节点开始递归

data = [[2,3],[5,4],[9,6],[4,7],[8,1],[7,2]]
kd = KdTree(data)
preorder(kd.root)

输出结果：

from time import clock
from random import random

# 产生一个k维随机向量，每维分量值在0~1之间 
def random_point(k):
	return [random() for _ in range(k)]
# 产生n个k维随机向量 
def random_points(k, n):
	return [random_point(k) for _ in range(n)]

ret = find_nearest(kd, [3,4.5])
print (ret)

N = 400000
t0 = clock()
kd2 = KdTree(random_points(3, N)) # 构建包含四十万个3维空间样本点的kd树
ret2 = find_nearest(kd2, [0.1,0.5,0.8]) # 四十万个样本点中寻找离目标最近的点
t1 = clock()
print ("time: ",t1-t0, "s")
print (ret2)

输出结果：

五.【实验小结】
（1）psp表格

（2）心得体会
我了解了K邻算法的优缺点：
1)优点
1.简单易用
2.没有显式的训练过程，在训练过程中仅仅是把训练样本保存起来，训练时间开销为0，是懒惰学(lazy learning) 的著名代表 。
3.预测效果好
4.对异常值不敏感

2)缺点
1：效率低下
原因：如果训练集有m个样本，n个特征，预测每一个新样本，需要计算与m个样本的距离，每计算一个距离，要使用n个时间复杂度，则计算m个样本的距离，使用m * n个时间复杂度；
算法的时间复杂度：反映了程序执行时间随输入规模增长而增长的量级，在很大程度上能很好反映出算法的优劣与否。
算法的时间复杂度与空间复杂度，参考：算法的时间复杂度和空间复杂度
可以通过树结构对k*邻算法优化：KD-Tree、Ball-Tree，但即便进行优化，效率依然不高；

2：高度数据相关
机器学算法，就是通过喂给数据进行预测，理论上所有机器学算法都是高度数据相关；
k邻算法对outlier更加敏感：比如三邻算法，在特征空间中，如果在需要预测的样本周边，一旦有两个样本出现错误值，就足以使预测结果错误，哪怕在更高的范围里，在特征空间中有大量正确的样本；

3：预测的结果不具有可解释性
按k邻算法的逻辑：找到和预测样本比较的样本，就得出预测样本和其最的这个样本类型相同；
问题：为什么预测的样本类型就是离它最的样本的类型？
很多情况下，只是拿到预测结果是不够的，还需要对此结果有解释性，进而通过解释推广使用，或者制作更多工具，或者以此为基础发现新的理论/规则，来改进生产活动中的其它方面——这些是kNN算法做不到的；

所以在实际应用中，K值一般取一个比较小的数值，例如可以采用交叉验证法（一部分样本做训练集，一部分样本做测试集）来选择最优的K值。