GDI+中的坐标系

1 什么是坐标系

坐标系就是确定一组数据位置的标尺。按按照维数分为2维平面坐标系和3维空间坐标系。其实2维坐标系也是z=0的3维坐标系的特例。

坐标系有三要素，一是原点，二是方向，三是单位大小。如果两个坐标系这三点完全一样，那么这两个坐标系就完全相同。关于坐标系和点的关系，我们可以这么理解：点本身是固定的，但在不同坐标系下的表示是不同的。那么为什么要定义那么多的坐标系呢，答案是为了描述方便。比如描述一个圆，如果把坐标系原点放到圆心，那么对圆的描述就是 x²+y²=r²。而如果原点不在圆心，那么圆描述就成了：(x-x₀)²+(y-y₀)²=r²。

2 坐标系变换与矩阵运算

既然可以找到描述形状方便的坐标系，那么问题也来了。比如要同时描述两个形状，如两个圆，而且这两个圆是有相对位置的，比如是自行车的两个轮子。

尽管两个圆各自在自己的坐标系里都能很方便的描述，但是要建立两者之间的关系时，却遇到了麻烦。因为要计算两个圆的位置关系，必须把两个圆放到同一个坐标系下描述才行。所以就引出了坐标系变换的概念。在此例中，可以把第二个圆也放到第一个坐标系下描述，方法就是把第二个坐标系放到第一个坐标系中合适的位置（两个坐标系的关系），然后根据两个坐标系的关系，推算出第二个圆在第一个坐标系中的描述。

这种方式对于CAD中的任务分隔特别重要，比如做汽车设计的公司，可以把不同的部件分配给不同的人来做。设计人员接到任务后，自由选择合适的坐标系来描述负责的部件。等所有部件设计完成以后，再把所有的部件转换的整车坐标系上。坐标系间的转换（2维和3维）是非常有规律的，有数学基础的人可以自己推导公式，没有数学基础的也没有关系，各种图形库都已经把坐标系变换公式做成了函数API供程序调用。比如OpenGL提供了三维坐标系间的各种变换API，GDI+则提供了2维坐标的变换API。需要了解的是，坐标系间的变换，一般是通过矩阵运算完成的，感兴趣的读者可以参考任何讲解OpenGL坐标变换算法的书籍，重要的是矩阵运算可以通过硬件流水线完成，这就是图形显示中的显卡硬件加速的一部分。当然矩阵运算不光应用于坐标系转换，还广泛运用于其他计算领域，因此有人提出了用GPU代替CPU来进行大规模科学计算的方案。

3 GDI+中的三种坐标系

作为Windows中图形显示的关键部件，GDI+代表了Windows下2维图形API。三维则是D3D的领域了。图形API要提供的函数大概是两类，一是绘图函数，二是坐标系转换函数。GDI+提供了很多绘图函数，如DrawRectangle,DrawEclipse,DrawString等等。所有这些函数中都需要位置或大小参数，对于这些参数含义的理解是很重要的。

3.1 调用者自定义坐标系（world）

一是参数的单位是什么？位置参数的坐标系是什么？答案很有意思：不确定。因为这些东西有调用者自由确定。那么GDI+怎么根据这些不确定的参数绘制图形呢？答案是调用者要提供自己定义的坐标系和PAGE坐标系的关系。

3.2 Page坐标系

Page坐标系附属在某一个窗口或控件上，是一个固定的坐标系，原点位于窗口的左上角，x轴方向向右，y轴方向向下。单位为cm，inch或pixel，根据实际情况设定。GDI+提供了Page坐标系和World坐标系间的转换API。含义是把world坐标系放到Page坐标系合适的位置。回到前面讲过的汽车分部件设计的例子，此处Page坐标系就是最后的整车坐标系，GID+提供的就是把各个部件（GDI+绘制函数绘制的图形）连同其坐标系一起放到整车(Page)坐标系里。

这是很合理的方式。在利用GDI+作图时也要按照这种思路来做。具体说来，先把整个图形分解成各个小的图形，在画某一个小的图形时不要考虑它最终在Page坐标系的位置，只要按照你自己设想的坐标系来调用GDI+的绘图函数就可以了。

当所有的图形都绘制完毕后，在把这些小的图形统统放到Page坐标系里。具体就是，调用绘制小图形的代码之前调用GDI+的xxxTransform（）系列函数把小图形的建模坐标系放置到Page坐标系里，在绘制小图形的代码之后，调用ResetTransform（）。

讲到这里，也许大家会有疑问了，GDI+最后是如何把Page坐标系的图形绘制到屏幕上的呢，这就是显示器的Device坐标系。

3.3Device坐标系

对于Page坐标系和Device坐标系的转换，应用程序员不需要了解了，GDI+已经把这部分隐藏了。

4 GDI+中坐标系的转换实例

4.1题目

利用GDI+绘制如下图形:

4.2 分析

仔细看上面的图形，不难发现，此图形有6部分组成：头，左臂，右臂，身体，左腿，右腿。分别把各个部分分给6个设计师去建模，然后把各个模型连同其建模坐标系一起放到到Page坐标系中。如下图：

4.3代码

        private PointF pHead;

        private PointF pBody;

        private PointF pLeftArm;

        private PointF pRightArm;

        private PointF pLeftLeg;

        private PointF pRightLeg;

        private SizeF sHead = new SizeF(30, 30);    //头大小30cm

        private SizeF sBody = new SizeF(50, 70);    //身体大小

        private SizeF sArm = new SizeF(10, 60);     //胳膊大小

        private SizeF sLeg = new SizeF(20, 70);     //腿大小

        public void DrawHead(PaintEventArgs e)

        {

            e.Graphics.DrawEllipse(Pens.Red, -sHead.Width / 2.0f, -sHead.Height / 2.0f, sHead.Width, sHead.Height);

        }

        public void DrawBody(PaintEventArgs e)

        {

            e.Graphics.DrawRectangle(Pens.Black, 0, 0, sBody.Width, sBody.Height);

        }

        public void DrawLeftArm(PaintEventArgs e)

        {

            e.Graphics.DrawRectangle(Pens.Black, 0, 0, sArm.Width, sArm.Height);

        }

        public void DrawRightArm(PaintEventArgs e)

        {

            e.Graphics.DrawRectangle(Pens.Black, 0, 0, sArm.Height, sArm.Width);

        }

        public void DrawLeftLeg(PaintEventArgs e)

        {

            e.Graphics.DrawRectangle(Pens.Black, 0, 0, sLeg.Width, sLeg.Height);

        }

        public void DrawRightLeg(PaintEventArgs e)

        {

            e.Graphics.DrawRectangle(Pens.Black, 0, 0, sLeg.Height, sLeg.Width);

        }

        private void Form1_Paint(object sender, PaintEventArgs e)

        {

            pHead = new PointF(this.Width / 2.0f, 100f);           //放置头坐标系

            e.Graphics.TranslateTransform(pHead.X, pHead.Y);

            DrawHead(e);                                     //调用负责头建模的代码

            e.Graphics.ResetTransform();                         //重置矩阵

            pBody = new PointF(pHead.X - sBody.Width/2.0f, pHead.Y+sHead.Height/2.0f);

            e.Graphics.TranslateTransform(pBody.X, pBody.Y);

            DrawBody(e);

            e.Graphics.ResetTransform();

            pLeftArm = pBody;

            e.Graphics.TranslateTransform(pLeftArm.X, pLeftArm.Y);

            e.Graphics.RotateTransform(45);

            DrawLeftArm(e);

            e.Graphics.ResetTransform();

            pRightArm = new PointF(pBody.X + sBody.Width, pBody.Y);

            e.Graphics.TranslateTransform(pRightArm.X, pRightArm.Y);

            e.Graphics.RotateTransform(45);

            DrawRightArm(e);

            e.Graphics.ResetTransform();

            pLeftLeg = new PointF(pBody.X, pBody.Y + sBody.Height);

            e.Graphics.TranslateTransform(pLeftLeg.X, pLeftLeg.Y);

            e.Graphics.RotateTransform(45);

            DrawLeftLeg(e);

            e.Graphics.ResetTransform();

            pRightLeg = new PointF(pBody.X + sBody.Width, pBody.Y + sBody.Height);

            e.Graphics.TranslateTransform(pRightLeg.X, pRightLeg.Y);

            e.Graphics.RotateTransform(45);

            DrawRightLeg(e);

            e.Graphics.ResetTransform();

        }

    }

5 MSDN中的几个不妥

由于GDI存在的时间很长，而GDI+诞生后为了兼容，一部分函数采用了与GDI相同的名称，甚至参数，参数的含义在MSDN中也按照原来的解释，导致了一些容易让读者误解的地方。

5.1绘图函数中关于左上角upper-left corner的描述

我们知道，GDI+的绘图函数使用的坐标系是由建模人员随意定义的，以函数

publicvoid DrawRectangle(

      Pen pen,

float x,

float y,

float width,

float height

)

为例，MSDN中对x,y解释如下：

x

Type: System. Single

The x-coordinate of the upper-left corner of the rectangle to draw.

y

Type: System. Single

The y-coordinate of the upper-left corner of the rectangle to draw.

然而此处的x,y真的是矩形左上角坐标吗？换句话说，左上是从什么角度看的。如下图：

在A1坐标系中，DrawRectange()函数中的x,y确实代表了矩形的左上角。A2和A3是A1经过旋转以后得到的坐标系，此时x,y在建模者看来显然是右下角和左下角。而对于更常见的笛卡尔右手坐标系B来说，(x,y)也不是左上角。左上角的概念仅在Page坐标系中成立。关于(x,y)的正确解释应该是：

矩形四个角中，x,y值都最小的那个角的坐标。

5.2 MatrixOrder问题

5.2.1不带MatrixOrder参数的变换函数顺序执行的理解

前面提到过其实对坐标系的转换就是矩阵的乘法运算。这里面涉及到了变换的顺序和矩阵乘法的顺序的问题。讲解之前一定要确立坐标系变换的视角：把建模坐标系放置到Page坐标系中，从Page坐标系一步步变化成最终坐标系。

可以通过两步完成：

（1）平移至虚线位置；

TranslateTransform（0, dy）；

（2）旋转一定角度。

RotateTransform(45);

如果我们把（1）（2）顺序反过来，那么最终的结果如下图：

所以说先平移、旋转的顺序很重要。当前的操作是在前一步完成之后的新坐标系中进行的。对应于矩阵算法相当于左乘。

5.2.2 带MatrixOrder参数的函数的理解

publicvoid TranslateTransform(

float dx,

float dy,

MatrixOrder order

)

在MSDN中对于MatrixOrder解释为：

其实际效果是，Prepend相当于无此参数的版本，也就是说此次调用是在前面操作结果的基础上操作的；相当于矩阵左乘。

Append相当于此次操作先于前面的操作起作用，也就是先进行当前的操作，在此基础上进行此次调用前面的操作。相当于矩阵右乘。在OpenGL中都是采用Append模式的。

如此看来，上述英文解释正好相反了。这个不能说是错，可能是从不同的视角来看问题，我们的视角是：从Page坐标系一步步变化成最终坐标系。

5.3 Graphics.Transform属性

这个属性比较特殊。MSDN的解释为:

获取或设置此Graphics的几何世界变换的副本。

获取的是Graphics变换矩阵的副本，而不是变换矩阵本身，也就是每次获取时，新建一个和变换矩阵成员值相同的矩阵对象，并返回。

问题是设置。设置的不是副本，而是Graphics变换矩阵本身。

内部实现伪代码

class Graphics

{

private Matrix transform;

public Matrix Transform

{

get { return transform.Clone(); }

set { transform=value; }

}

}

如果要通过矩阵乘法进行坐标转换，那么代码如下：

e.Graphics.Transform = Graphics.Transform.Multiply(newMatrix(....))

6 变换函数不能解决的问题

GDI+提供了平移、旋转、缩放等函数供我们调用，来把Page坐标系一步步改造成最终的建模坐标系在Page中的表现形态。对于绝大多数情况，这些函数足够了，但是看如下：

无论怎么平移和旋转，Page坐标系也无法编程上面红色显示的坐标系。这是因为Page坐标系属于左手坐标系，而红色所示是右手坐标系。在数学上，大多数情况使用的都是右手坐标系，模型也是建立在右手坐标系上，那么如何把Page转化为右手坐标系呢。也就是把y轴反向。答案是通过直接操纵Graphics的变换矩阵。

e.Graphics.Transform = e.Graphics.Transform.Multiply(newMatrix(1, 0, 0, -1, 0, 0));//y反向

上述代码就实现了y轴反向的目的。

如果你对变换矩阵很了解，直接操作矩阵左右乘法，与调用相关的GDI+变换函数功效完全相同，可以实现任意变换。

（后注:Y轴反方向可以通过g.ScaleTransform(1, -1)完成）