首先我们先了解一下克莱姆法则：

定理1 若方程组的系数行列式D≠0，则方程组有唯一解。

x1=D1/D,X2=D2/D ```````,Xn=Dn/D

例子：

X1+X2-X3=1

3X1+4X2-2X3=2

5X1+-4X2+X3=3

D≠0

        1   2   -1                      1   1   -1                      1   2   1

D1= 2   4   -2     =0    D2=  3   2   -2    =-4     D3=  3   4   2      =-10

        3   -4   1                      5   3   1                        5   -4   3

就是将方程组的值与每一列进行交换得到新Dn

定理2 若齐次线性方程组的系数行列式D≠0，则方程组只有零解

推论 若齐次线性方程组有非零解，则必有系数行列式D≠0

下面我们来看一个例子：

若齐次线性方程组

(5-n)x1+   2x2  +  2x3   =0

  2x1      +(6-n)x2           =0

  2x1      +          (4-n)x3 =0

有非零解，问n取何值

解：

        5-n   2      2

D=    2    6-n    0      =(5-n)(2-n)(8-n)

         2     0     4-n

根据推论 当n=2，5，8时，D=0，此时方程组才能有非零解。

注意：只有当方程组中未知量的个数与方程个数相等并且系数行列式D≠0时才能用克莱姆法则求解方程组。