• 1.武功秘籍
  • 答案 : 7
• 2.切面条
  • 答案 : 1025
• 3. 猜字母
  • 答案 : q
• 4.大衍数列
  • 答案 : (i & 0) == 0
• 5.圆周率
  • 答案 : 4/(x-1)
• 6.奇怪的分式
  • 答案 : 14
• 7.扑克序列
  • 答案: 2342A3A4
• 8.分糖果
• 9.地宫取宝
• 思路:
• 踩坑:
• 10.矩阵翻硬币
• 思路

1.武功秘籍

• 小明到X山洞探险，捡到一本有破损的武功秘籍（2000多页！当然是伪造的）。他注意到：书的第10页和第11页在同一张纸上，但第11页和第12页不在同一张纸上。
• 小明只想练习该书的第81页到第92页的武功，又不想带着整本书。请问他至少要撕下多少张纸带走？
• 这是个整数，请通过浏览器提交该数字，不要填写任何多余的内容。

热身题

public class Main {
	public static void main(String[] args) {
		for(int i = 10; i < 100; i += 2){
			System.out.println("本页包括 : " + i + " 和 " + (i + 1));
		}
	}
}

答案 : 7

2.切面条

• 一根高筋拉面，中间切一刀，可以得到2根面条。
• 如果先对折1次，中间切一刀，可以得到3根面条。
• 如果连续对折2次，中间切一刀，可以得到5根面条。
• 那么，连续对折10次，中间切一刀，会得到多少面条呢？
• 答案是个整数，请通过浏览器提交答案。不要填写任何多余的内容。

我把它看成是一道考二叉树的题. 考的是第k层的结点个数, 但是最后要加1, 这个1可以理解成头结点. 拿张纸条切一切和二叉树的图对比一下即可.

public class Main {
	public static void main(String[] args) {
		System.out.println(getNoodles(10));
	}
	
	public static int getNoodles(int n){
		return (1 << n) + 1;
	}
}

答案 : 1025

3. 猜字母

• 把abcd...s共19个字母组成的序列重复拼接106次，得到长度为2014的串。
• 接下来删除第1个字母（即开头的字母a），以及第3个，第5个等所有奇数位置的字母。
• 得到的新串再进行删除奇数位置字母的动作。如此下去，最后只剩下一个字母，请写出该字母。
• 答案是一个小写字母，请通过浏览器提交答案。不要填写任何多余的内容。

我的思路是先拼接出字符串, 然后通过数组原地调整的方式不断缩字符串, 类似2013年第八题幸运数.

public class Main {

	public static void main(String[] args) {
		String s = "";
		for(int i = 0; i < 106; i++){
			s += "abcdefghijklmnopqrs";
		}
		char[] arr = s.toCharArray();
		int len = arr.length;
		int index = 0;
		while(len != 1){
			for(int i = 0; i < len; i++){
				if(((i + 1) & 1) == 0){
					arr[index++] = arr[i];
				}
			}
			System.out.println(arr[0]);//把缩完后每一次的开头都打印出来, 以便检验.
			index = 0;
			len = len / 2;
		}
	}
}

答案 : q

4.大衍数列

• 中国古代文献中，曾记载过“大衍数列”, 主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理。
• 它的前几项是：0、2、4、8、12、18、24、32、40、50 ...
• 其规律是：对偶数项，是序号平方再除2，奇数项，是序号平方减1再除2。
• 以下的代码打印出了大衍数列的前 100 项。

for(int i=1; i<100; i++)
{
	if(________________)  //填空
		System.out.println(i*i/2);
	else
		System.out.println((i*i-1)/2);
}

• 请填写划线部分缺失的代码。通过浏览器提交答案。
• 注意：不要填写题面已有的内容，也不要填写任何说明、解释文字。

判断一个数是不是偶数

答案 : (i & 0) == 0

5.圆周率

• 数学发展历史上，圆周率的计算曾有许多有趣甚至是传奇的故事。其中许多方法都涉及无穷级数。
• 图1.png中所示，就是一种用连分数的形式表示的圆周率求法。
• 下面的程序实现了该求解方法。实际上数列的收敛对x的初始值 并不敏感。
• 结果打印出圆周率近似值（保留小数点后4位，并不一定与圆周率真值吻合）。

	double x = 111; 
	for(int n = 10000; n>=0; n--){
		int i = 2 * n + 1;
		x = 2 + (i*i / x);
	}
	
	System.out.println(String.format("%.4f", ______________));

根据题目中的代码可以推算出x等于2+一大坨分数, 然后即可通过解方程得到圆周率.

答案 : 4/(x-1)

6.奇怪的分式

• 上小学的时候，小明经常自己发明新算法。一次，老师出的题目是：
• 1/4 乘以 8/5
• 小明居然把分子拼接在一起，分母拼接在一起，答案是：18/45 （参见图1.png）
• 老师刚想批评他，转念一想，这个答案凑巧也对啊，真是见鬼！
• 对于分子、分母都是 1~9 中的一位数的情况，还有哪些算式可以这样计算呢？
• 请写出所有不同算式的个数（包括题中举例的)
• 显然，交换分子分母后，例如：4/1 乘以 5/8 是满足要求的，这算做不同的算式。
• 但对于分子分母相同的情况，2/2 乘以 3/3 这样的类型太多了，不在计数之列!
• 注意：答案是个整数（考虑对称性，肯定是偶数。请通过浏览器提交。不要书写多余的内容。

解题思路: 按照题目的步骤判断两个结果是否相等, 两个结果分别用4个变量凑出, 注意判断相等的时候使用浮点类型.

public class Main {
	public static void main(String[] args) {
		int res = 0;
		float num1 = 0;
		float num2 = 0;
		for(float a = 1; a <= 9; a++){
			for(float b = 1; b <= 9; b++){
				if(b == a) continue;
				for(float c = 1; c <= 9; c++){
					for(float d = 1; d <= 9; d++){
						if(c == d) continue;
						
						num1 = (a * 10 + c) / (b * 10 + d);
						num2 = (a * c) / (b * d);
						if(num1 == num2){
							res++;
						}
					}
				}
			}
		}
		System.out.println(res);
	}
}

答案 : 14

7.扑克序列

• A A 2 2 3 3 4 4， 一共4对扑克牌。请你把它们排成一行。
• 要求：两个A中间有1张牌，两个2之间有2张牌，两个3之间有3张牌，两个4之间有4张牌。
• 请填写出所有符合要求的排列中，字典序最小的那个。
• 例如：22AA3344 比 A2A23344 字典序小。当然，它们都不是满足要求的答案。
• 请通过浏览器提交答案。“A”一定不要用小写字母a，也不要用“1”代替。字符间一定不要留空格。

解题思路: 首先通过全排列找到所有的情况, 然后在所有情况中筛选符合题目要求的字符串. 最后比较符合要求的字符串的字典序, 通过比较器比较(各个语言都有).

public class Main {
	
	public static LinkedList<String> qua = new LinkedList<String>();
	
	public static void main(String[] args) {
		String str = "AA223344";
		process(str.toCharArray(), 0);//全排列
		ArrayList<String> preList = new ArrayList<String>();
		//拿到符合要求的序列
		for(String s : qua){
			if(isOk(s)){
				preList.add(s);
			}
		}
		//按照字典序排序
		Collections.sort(preList, new StringComparator());
		System.out.println(preList.get(0));
	}
	
	public static class Index{
		public int first;
		public int last;
		public Index(int first){
			this.first = first;
		}
	}
	
	public static boolean isOk(String s){
		char[] arr = s.toCharArray();
		HashMap<Character, Index> map = new HashMap<Character, T7.Index>();
		for(int i = 0; i < arr.length; i++){
			if(!map.containsKey(arr[i])){
				map.put(arr[i], new Index(i));
			}else{
				Index index = map.get(arr[i]);
				index.last = i;
				map.put(arr[i], index);
			}
		}
		Index a = map.get('A');
		if(a.last - a.first - 1 != 1){
			return false;
		}
		Index b = map.get('2');
		if(b.last - b.first - 1 != 2){
			return false;
		}
		Index c = map.get('3');
		if(c.last - c.first - 1 != 3){
			return false;
		}
		Index d = map.get('4');
		if(d.last - d.first - 1 != 4){
			return false;
		}
		return true;
	}
	
	public static void process(char[] ori, int index){
		if(index == ori.length){
			qua.add(String.valueOf(ori));
			return;
		}
		for(int i = index; i < ori.length; i++){
			swap(ori, index, i);
			process(ori, index + 1);
			swap(ori, index, i);
		}
	}
	
	public static class StringComparator implements Comparator<String> {
		public int compare(String s1, String s2) {
			return s1.compareTo(s2);
		}
	}
	
	public static void swap(char[] ori, int i, int j){
		char temp = ori[i];
		ori[i] = ori[j];
		ori[j] = temp;
	}
}

答案: 2342A3A4

8.分糖果

• 有n个小朋友围坐成一圈。老师给每个小朋友随机发偶数个糖果，然后进行下面的游戏：
• 每个小朋友都把自己的糖果分一半给左手边的孩子。
• 一轮分糖后，拥有奇数颗糖的孩子由老师补给1个糖果，从而变成偶数。
• 反复进行这个游戏，直到所有小朋友的糖果数都相同为止。
• 你的任务是预测在已知的初始糖果情形下，老师一共需要补发多少个糖果。

【格式要求】

程序首先读入一个整数N(2<N<100)，表示小朋友的人数。
接着是一行用空格分开的N个偶数（每个偶数不大于1000，不小于2）
要求程序输出一个整数，表示老师需要补发的糖果数。

例如：输入
3
2 2 4
程序应该输出：
4

资源约定：
峰值内存消耗（含虚拟机） < 256M
CPU消耗  < 1000ms

• 请严格按要求输出，不要画蛇添足地打印类似：“请您输入...” 的多余内容。
• 所有代码放在同一个源文件中，调试通过后，拷贝提交该源码。
• 注意：不要使用package语句。不要使用jdk1.7及以上版本的特性。
• 注意：主类的名字必须是：Main，否则按无效代码处理。

解题思路: 按照题目一路写代码

public class Main {
	public static void main(String[] args) {
		Scanner sc = new Scanner(System.in);
		int[] arr = new int[sc.nextInt()];//每个孩子有多少糖
		int[] tempCandy = new int[arr.length];//定义一个辅助数组保存每个孩子给左边孩子给多少糖
		for(int i = 0; i < arr.length; i++){
			arr[i] = sc.nextInt();
		}
		
		int left = 0;
		int res = 0;
		boolean equal = false;
        //只要孩子的糖不相等就进行循环
		while(!equal){
			//每个孩子付出糖
			for(int i = 0; i < arr.length; i++){
				tempCandy[i] = arr[i] / 2;
				arr[i] /= 2;
			}
			//每个孩子接收糖
			for(int i = 0; i < arr.length; i++){
				left = getLeftIndex(i, arr);
				arr[left] += tempCandy[i];
			}
			//老师发糖平衡天下
			for(int i = 0; i < arr.length; i++){
				if((arr[i] & 1) != 0){
					arr[i] += 1;
					res++;
				}
			}
			//看看这一轮平了没有
			boolean isEqual = true;
			for(int i = 1; i < arr.length; i++){
				if(arr[i] != arr[i - 1]){
					isEqual = false;
					break;
				}
			}
			equal = isEqual ? true : false;
		}
		System.out.println(res);
	}
	
	public static int getLeftIndex(int index, int[] arr){
		return index == 0 ? arr.length - 1 : index - 1;
	}
}

9.地宫取宝

• X 国王有一个地宫宝库。是 n x m 个格子的矩阵。每个格子放一件宝贝。每个宝贝贴着价值标签。
• 地宫的入口在左上角，出口在右下角。
• 小明被带到地宫的入口，国王要求他只能向右或向下行走。
• 走过某个格子时，如果那个格子中的宝贝价值比小明手中任意宝贝价值都大，小明就可以拿起它（当然，也可以不拿）。
• 当小明走到出口时，如果他手中的宝贝恰好是k件，则这些宝贝就可以送给小明。
• 请你帮小明算一算，在给定的局面下，他有多少种不同的行动方案能获得这k件宝贝。

数据格式】

输入一行3个整数，用空格分开：n m k (1<=n,m<=50, 1<=k<=12)

接下来有 n 行数据，每行有 m 个整数 Ci (0<=Ci<=12)代表这个格子上的宝物的价值

要求输出一个整数，表示正好取k个宝贝的行动方案数。该数字可能很大，输出它对 1000000007 取模的结果。

例如，输入：
2 2 2
1 2
2 1
程序应该输出：
2

再例如，输入：
2 3 2
1 2 3
2 1 5
程序应该输出：
14

资源约定：
峰值内存消耗（含虚拟机） < 256M
CPU消耗  < 2000ms

思路:

1. 递归的逻辑是: 如果当前格子的宝藏的值比手头上宝贝的最大值大, 就可以取走, 并且可以向右或向下走.
2. 所以如果可以拿走宝贝, 就有4种情况; 如果不可以拿走宝贝就只有两种情况.见代码
3. 如果只是这样写的话, 样本量大的时候会超时, 因为最多要连续走100个格子, 每个格子算2种选择, 2的100次方是很可怕的.
4. 当以相同状态走过同一个格子的时候, 比如说x=2,y=2,max=4,cur=2, 如果之前经历过这样的状况, 就可以直接返回之前的结果了, 这里可以用一个数组进行记忆.

踩坑:

1. 开始时, 我没有初始化记忆数组, 数组的每个格子都是0, 最后没有节省时间, 因为很多格子上记录的就是0, 只有0种取法.
2. 没有留意题目种对结果取余的告诫, 只在最后return res之前取余数. 最终有3个测试用例过不了, 因为每次递归的结果都有可能超过1000000007, 最后才进行取余在样本量极大的情况下是会出错的.

public class T9 {
	
	public static int n;
	public static int m;
	public static int k;
	public static int[][][][] dp = new int[50][50][15][15];//用于记忆搜索
	public static int[][] arr = new int[50][50];
	
	public static void main(String[] args) {
		//处理输入
		Scanner sc = new Scanner(System.in);
		n = sc.nextInt();
		m = sc.nextInt();
		k = sc.nextInt();
		for(int i = 0; i < n; i++){
			for(int j = 0; j < m; j++){
				arr[i][j] = sc.nextInt();
			}
		}
		initDp();//初始化记忆数组,不能用java初始的0值,因为很多格子只有0种可能, 会造成重复搜索. 
		System.out.println(process(arr, 0, 0, -1, 0));//宝藏的最小值为0, 所以初始的max值为-1
	}
	
	public static int process(int[][] arr, int x, int y, int max, int cur){
		if(dp[x][y][max + 1][cur] != -1){//max初始为-1,为防止越界填入max+1
			return dp[x][y][max + 1][cur];
		}
		if(x >= n || y >= m || cur > k){
			return 0;
		}
		int value = arr[x][y];
		if(x == n - 1 && y == m - 1){
			if(cur == k || (value > max && cur == k - 1)){
				return 1;
			}
			return 0;
		}
		int res = 0;
		if(value > max){//如果宝藏大于当前手上的最大值, 就可以拿走.
			res += process(arr, x, y + 1, value, cur + 1);//每次递归完对结果取模, 否则数据量大的时候会出错.
			res %= 1000000007;
			res += process(arr, x + 1, y, value, cur + 1);
			res %= 1000000007;
		}
		//不拿走
		res += process(arr, x, y + 1, max, cur);
		res %= 1000000007;
		res += process(arr, x + 1, y, max, cur);
		res %= 1000000007;
		
		dp[x][y][max + 1][cur] = res;
		return res;
	}
	
	public static void initDp(){
		for(int i = 0; i < 50; i++){
			for(int j = 0; j < 50; j++){
				for(int k = 0; k < 15; k++){
					for(int l = 0; l < 15; l++){
						dp[i][j][k][l] = -1;
					}
				}
			}
		}
	}
}

10.矩阵翻硬币

• 小明先把硬币摆成了一个 n 行 m 列的矩阵。
• 随后，小明对每一个硬币分别进行一次 Q 操作。
• 对第x行第y列的硬币进行 Q 操作的定义：将所有第 i*x 行，第 j*y 列的硬币进行翻转。
• 其中i和j为任意使操作可行的正整数，行号和列号都是从1开始。
• 当小明对所有硬币都进行了一次 Q 操作后，他发现了一个奇迹——所有硬币均为正面朝上。
• 小明想知道最开始有多少枚硬币是反面朝上的。于是，他向他的好朋友小M寻求帮助。
• 聪明的小M告诉小明，只需要对所有硬币再进行一次Q操作，即可恢复到最开始的状态。然而小明很懒，不愿意照做。于是小明希望你给出他更好的方法。帮他计算出答案。

-【数据格式】

• 输入数据包含一行，两个正整数 n m，含义见题目描述。
• 输出一个正整数，表示最开始有多少枚硬币是反面朝上的。

【样例输入】
2 3

【样例输出】
1

【数据规模】
对于10%的数据，n、m <= 10^3；
对于20%的数据，n、m <= 10^7；
对于40%的数据，n、m <= 10^15；
对于10%的数据，n、m <= 10^1000（10的1000次方）。

资源约定：
峰值内存消耗（含虚拟机） < 256M
CPU消耗  < 2000ms

思路

• 用题目中的操作只能过10%的数据.
• 首先要理解Q操作的定义:将所有第i*x 行，第j*y 列的硬币进行翻转. 也就是说现在定位的硬币坐标是x,y, 是x的倍数的行都要翻, 是y的倍数的列也要翻.
• 假设有9行9列的硬币, 对坐标(9,9)的硬币target进行分析. 第一行的硬币命中了target的行, 假如来到第一列, 那么target就要翻一下; 假如来到了第1行, 第3列, target也要翻一下.
• 这么一来, 一个硬币就要翻 (x的因子数 * y的因子数) 那么多次
• 如果一个数一共翻了奇数次, 它一开始就是反面朝上的.
• 由于只有奇数相乘才能得到奇数. 所以要求x的因子数和y的因子数都必须是奇数.
• 什么数的因子数是奇数? 只有平方数的因子数是奇数, 因为普通数的因子数都是一对一对的.
• 所以现在的问题转化成求x中有多少个平方数和y中有多少个平方数.
• 平方数有: 1, 4, 9...
• 根据数学规律, 求一个数包含多少个平方数只需要将该数开方后向下取整即可, 比如说10开方取整后得3, 它一共包含3个平方数.
• 由于数据的取值范围是10^1000, 不能用已有的基本数据类型进行开放, 所以接下来的问题转化为如何对一个大数进行开方.
• 首先要知道大数有多少位, 比如两位数16开方后得一位数4, 3位数100开方后得2位数10. 总结出结果是如果一个数的位数是偶数, 开方后得到的数的位数也是偶数, 如果是奇数, 得出的结果有原数位数 / 2 + 1 这么多位.
• 知道结果有多少位后, 就可以试数了. 假设结果是3位, 先假设为000, 然后从头开始试100, 试110, 试111, 试112...直到得出平方数.

import java.math.BigInteger;
import java.util.Arrays;
import java.util.Scanner;

public class Main {
	public static void main(String[] args) {
		Scanner sc = new Scanner(System.in);
		String n = sc.next();
		String m = sc.next();
		System.out.println(sqrt(n).multiply(sqrt(m)));
	}
	
	public static BigInteger sqrt(String num){
		int numLen = num.length();//要开方的数字位数
		int resLen = (numLen & 1) == 0 ? numLen / 2 : numLen / 2 + 1;//开方后数字的位数
		char[] arr = new char[resLen];//用于尝试结果的数组
		Arrays.fill(arr, '0');
		BigInteger target = new BigInteger(num);
		for(int pos = 0; pos < resLen; pos++){
			for(char i = '1'; i <= '9'; i++){
				arr[pos] = i;
				BigInteger pow = new BigInteger(String.valueOf(arr)).pow(2);
				if(pow.compareTo(target) == 1){
					arr[pos] -= 1;
					break;
				}
			}
		}
		return new BigInteger(String.valueOf(arr));
	}
}