堆的介绍

堆是一颗完全二叉树，通俗来讲就是除最后一行之外是满的，然后最后一行的节点都在最左边的树。下面就是一颗完全二叉树

而堆在完全二叉树的基础上又增加了一条性质
子节点总是不大于/小于比父亲节点
这样可得出堆顶是最小/大的，堆顶是最小值的堆称为小根堆，堆顶是最大值的称为大根堆。

堆的操作

堆有两种操作，插入和删除

需要了解的性质

堆是完全二叉树
如果树上的节点按层从左到右编号
满足
左儿子的编号 = 父亲的编号 * 2 ， 可以写成 父亲的编号 >> 1
右儿子的编号 = 父亲的编号 * 2 + 1 ， 可以写成 父亲的编号 >> 1 | 1

如果左儿子的值为 0 右儿子的值必为0

插入

这里我们以大根堆为例

由于我们将堆编了号，我们可以用数组存每个点的值

比如这个，1 号点值是 10 ， 2 号点值是 7 ， 3 号点值是 2 ， 4 号点值是 5 ，5 号点值是 1.

val[] = {0 , 10 , 7 , 2 , 5 , 1};

我们用这个数组就能存下每一个点的值。

我们首先记现有的点总数tot，这个tot正好和最后一个点的编号一样。
插入一个点的时候，他的编号是tot + 1，也就是我们直接往后放即可
像这样

现在的a数组是 val[] = {0 , 10 , 7 , 2 , 5 , 1 , 16};

由于大根堆的性质是父节点更大，所以我们要对新插入的节点进行上浮操作
直到他比父节点小或者到了堆顶。

附上插入代码 （小根堆）

void heap_insert(int x  , int root)
{
	val[++tot] = x;
	
	int f = tot;
	while (f != 1)
	{
		if (val[f] < val[f / 2])
		{
			swap(val[f] , val[f / 2]);
			f = f / 2;
		}
		else break;
	}
}

堆的删除

一般来说堆的删除只能删除根节点，但删除后留了一个空位，怎么办呢

很简单，我们把最后一个节点填充上去即可，这样还是满足完全二叉树的性质

但是这样会破坏堆的属性，所以我们要对根节点进行下沉操作
直到他到底或父节点比他大

删除代码 （小根堆）

void heap_delete()
{
	val[1] = val[tot];
	val[tot] = 0;
	tot --;

	int f = 1;
	while (1)
	{
		if (!val[f << 1] && !val[f << 1 | 1]) break;

		if (val[f] > val[f << 1] && (!val[f << 1 | 1] || val[f << 1 | 1] >= val[f << 1])) swap(val[f] , val[f << 1]) , f <<= 1;
		else if (val[f] > val[f << 1 | 1] && val[f << 1 | 1] && val[f << 1] >= val[f << 1 | 1]) swap(val[f] , val[f << 1 | 1]) , f = f << 1 | 1;
		else break;
	}
}

需要注意的是，下沉操作要做许多判断，否则程序会出错。
尤其是小根堆，要注意儿子是0的状况

我这里做了四个判断
1 如果左右儿子都是0 停止下沉
2 如果父亲比左儿子大 同时右儿子比左儿子大或右儿子为0 和左儿子交换
3 如果父亲比右儿子大 同属左儿子比右儿子大 和右儿子交换 （想想这里为什么不判0）
4 其他停止交换 指父亲比两个儿子都小的情况