题目给定\(l_1,r_1,l_2,r_2\),问我们\(\prod\limits_{i=l_1}^{r_1}i\)是否是\(\prod\limits_{i=l_2}^{r_2}i\)的因子。一个直接的想法就是将两个部分的乘积算出来,最后判断是否是因子即可。但是本题的数据范围很大,使用普通的数据类型存不下来,除非使用高精度,但是这样的时间复杂度就太高了,因此我们需要考虑如何快速求解。
我们知道\(\prod\limits_{i=l_1}^{r_1}i=l_1\cdot(l_1+1)\cdots(r_1)\),\(\prod\limits_{i=l_2}^{r_2}i=l_2\cdot(l_2+1)\cdots(r_2)\),两个式子相除,我们可以得到一个等式即\(l_2\cdot(l_2+1)\cdots(r_2)/l_1\cdot(l_1+1)\cdots(r_1)=r_2!\cdot(l_1-1)!/r1!\cdot(l2-1)!\)。我们知道对于每一个数,都有自己的质因数分解,因此要想判断一个数是否是另一个数的因子,只需要判断两个数相同质因数的个数(即幂的大小)是否被除数大于等于除数,如果满足条件,我们就说被除数能够被该除数整除,反之,不行。
但是现在我们的除数和被除数均为阶乘的形式,如果我们对每个数都进行质因数的分解,是无法在时限内通过本题。所以我们需要知道阶乘的因子分解。
对于任何给定的素数\(p\),我们希望能够确定能整除\(n!\)的\(p\)的最大幂,也就是知道\(n!\)中每个数中对\(p\)这个质因数的贡献,即求\(p\)在\(n!\)的唯一分解式中的指数。数学公式如下(来自《Concrete Mathematics》第四章数论部分):
从而我们就可以写出计算某个素数在阶乘中的贡献了
int cal(int num, int p) { if (num == 0) return 0; return cal(num / p, p) + num / p; }
#include <bits/stdc++.h> using namespace std; const int N = 1e7; vector<int> prime; bool is_prime[N + 1]; void sieve() { for (int i = 2; i <= N; i++) { if (!is_prime[i]) prime.push_back(i); for (int j = 0; prime[j] <= N / i; j++) { is_prime[prime[j] * i] = true; if (i % prime[j] == 0) break; } } } int cal(int num, int p) { if (num == 0) return 0; return cal(num / p, p) + num / p; } int main() { sieve(); int t; cin >> t; while (t--) { int l1, r1, l2, r2; cin >> l1 >> r1 >> l2 >> r2; bool ok = true; for (int i = 0; i < (int)prime.size(); i++) { int p = prime[i]; int fac1 = cal(r2, p) + cal(l1 - 1, p); int fac2 = cal(l2 - 1, p) + cal(r1, p); if (fac1 < fac2) { ok = false; break; } } if (ok) puts("Yes"); else puts("No"); } return 0; }