设对满足迪利克雷条件（绝对可积、周期内有限起伏、周期内有限间断点）的连续时间信号 \(x(t)\) 的傅立叶变换为 \(X(\omega)\)，即 \(x(t) \leftrightarrow X(\omega)\)，则

傅立叶变换是将信号分解为在复平面上以不同速度匀速圆周运动的分量，它们具有不同的幅度和相位。

直观地，\(e^{j\omega t}\) 代表了以 \(\omega\) 角速度转圈的单位圆周运动分量，那么正变换的积分过程可以看作一个计算原时域信号在正交函数系上投影的过程，也就是将信号分解到正弦函数。

在线性特性的基础上，我们盯着一个在复平面上转圈的分量看，就可以很轻松地口胡出傅立叶变换的性质们。

时域内整体延迟 \(t_0\)，对于频率为 \(\omega\) 的分量，其相位落后 \(\omega t_0\)，故频域与 \(e^{-j\omega t_0}\) 相乘。

频域内整体升高 \(\omega_0\)，即每个圈都转得更快了，但整体上相对升高前，在同一个时刻 \(t\)，附加的相移是固定的，故时域与 \(e^{j\omega_0 t}\) 相乘。

如果时间倒流，那么频率取反即可。

共轭对称性我们换个角度看。\(x^*(-t) \leftrightarrow X^*(\omega)\)，时域中原信号共轭又反转，看它每个转圈的分量，转速和方向都没变，只是初相变了（共轭），因此对应到频域，自然就是取共轭。

放缩相似，直接从波形理解，时域压缩，频域展宽。

时域卷积，分别考察两个转圈的分量，其幅度相乘，其相位相加。

微分关系，速度是位移逆时针旋转 \(90°\) 并伸展 \(\omega\) 倍。

同理，积分关系便是压缩到 \(1/\omega\) 并顺时针旋转 \(90°\)，但是这里 \(\omega \neq 0\)，事实上 \(\omega=0\) 的情况恰好对应直流分量，根据 \(1\leftrightarrow 2\pi\delta(\omega)\)，这个附加常数即是 \(\pi X(0) \delta(0)=\pi (x(-\infty)+x(+\infty)) \delta(0)\)。