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01

演进

结点和边，构成一个图。

不含环的连通图，便成了一棵树。每个结点拥有的子结点数称为结点的度。

多棵树便构成了一个森林。

结点的度最大为2的树便是二叉树；最大度为N的是N叉树，或多叉树。

除叶子结点，每个结点的度都为2，称为满二叉树。
除去最后一层之后的子树为满二叉树，且最后一层结点依次从左到右分布，则称为完全二叉树。

如果在完全二叉树上再加一个限制条件：如结点都大于等于其子结点，或者小于等于其子结点，则称为堆。
每个结点都大于等于其子结点，称为大根堆。
每个结点都小于等于其子结点，称为小根堆。

02

堆存储

2.1

顺序存储：数组

用数组存储，将一个线性数组映射成一棵完全二叉树，父结点为i，则左儿子为2i+1，右儿子为2i+2。

代码如下

int heap[10];

2.2

链式存储：链表

定义一个结点的结构体，两个指针分别指向左儿子和右儿子。

代码如下

struct Node {
    int value;
    Node *lson, *rson;
};
Node *heap;

以下思想都以大根堆举例

03

堆调整

3.1

向上调整

子结点与父结点的下标关系如下：

用一个指针指向待调整的结点：

• 先比较是否大于父结点，如果大于就进行交换，并将指针上移到父结点

直到指向根结点或者当前结点小于等于父结点。

代码实现

//将heap[k]向上调整
int heapUp(int *heap, int k) {
    int parent, son, x;
    x = heap[k];
    son = k;
    parent = (son - 1) / 2;
    while (son > 0) {
        //如果父结点大于等于heap[k]则退出，否则将父结点下移
        if (heap[parent] >= x)
            break;
        heap[son] = heap[parent];
        son = parent;
        parent = (son - 1) / 2;
    }
    heap[son] = x;
    return 0;
}

3.2

向下调整

父结点与子结点的下标关系如下：

用一个指针指向待调整的结点：  

• 先比较两个子结点哪个更大，取出更大的子结点

• 再比较更大的子结点是否大于父结点，如果大于就进行交换，并将指针下移

直到指向叶子结点或者当前结点大于两个子结点。

代码实现

//将heap[k]向下调整
int heapDown(int *heap, int k, int n) {
    int parent, son, x;
    x = heap[k];
    parent = k;
    son = 2 * k + 1;    //左孩子结点
    while (son <= n) {
        //比较左右儿子，选择较大的一个
        if (son + 1 <= n && heap[son + 1] > heap[son])
            son++;    //使son指向左右孩子中较大的结点。
        //如果儿子结点中较大的都小于等于待调整结点则退出，否则将子结点上移
        if (heap[son] <= x)
            break;
        heap[parent] = heap[son];
        parent = son;
        son = 2 * parent + 1;
    }
    heap[parent] = x;
    return 0;
}

04

增减元素

4.1

PUSH

从堆尾插入元素，再对该元素进行向上调整直到满足堆性质。

4.2

POP

将堆顶弹出，用堆尾的元素置换，再对堆顶的元素进行向下调整。

05

构建堆

5.1

插入构建

依次向堆尾插入元素，并对该元素进行向上调整，直到满足堆性质。

时间复杂度：
插入一个元素要调整的高度为logi，所以插入n个元素的总次数为log1+log2+...+logn=log(n!)。

根据斯特林公式，有如下证明，所以复杂度O(nlogn)。

5.2

调整构建

待调整的数组，可以直接看成是一棵完全二叉树。

从(n-1)/2位置开始，将每个元素进行向下调整，直到根结点。对于每一个待调整的当前结点，下面的子树都已经满足堆性质，所以调整完所有结点便成了堆。

时间复杂度：
倒数第二层有2^(h-2)个结点，调整高度为1，依次类推，第一层有1个结点，调整高度为h-1，整体加起来的复杂度为O(n)。

代码实现

void buildHeap(int *heap, int n) {
    for (int i = (n - 1) / 2; i >= 0; --i) {
        heapDown(heap, i, n);
    }
}

06

排序

一个已经调整完成的大根堆。

核心思想：  

• 将堆顶与堆尾的元素置换

• 整体元素长度减1

• 对堆顶元素进行向下调整

重复以上过程直到整体元素为1，这时就变成了一个升序排列的数组。  

模拟过程：

Step 1

Step 2

代码实现

void swap(int *heap, int a, int b) {
    int temp;
    temp = heap[a];
    heap[a] = heap[b];
    heap[b] = temp;
}
void heapsort(int *heap, int n) {
    for (int i = n; i > 0; --i) {
        swap(heap, 0, i);
        heapDown(heap, 0, i - 1);
    }
}

07

总结

堆排的复杂度为nlogn，应用场景很广泛，这篇文章主要讲清楚堆相关的操作，具体的应用和建模以后会再专门写文章讲解。

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