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结点和边,构成一个图。
不含环的连通图,便成了一棵树。每个结点拥有的子结点数称为结点的度。
多棵树便构成了一个森林。
结点的度最大为2的树便是二叉树;最大度为N的是N叉树,或多叉树。
除叶子结点,每个结点的度都为2,称为满二叉树。
除去最后一层之后的子树为满二叉树,且最后一层结点依次从左到右分布,则称为完全二叉树。
如果在完全二叉树上再加一个限制条件:如结点都大于等于其子结点,或者小于等于其子结点,则称为堆。
每个结点都大于等于其子结点,称为大根堆。
每个结点都小于等于其子结点,称为小根堆。
用数组存储,将一个线性数组映射成一棵完全二叉树,父结点为i,则左儿子为2i+1,右儿子为2i+2。
代码如下
int heap[10];
定义一个结点的结构体,两个指针分别指向左儿子和右儿子。
代码如下
struct Node { int value; Node *lson, *rson; }; Node *heap;
以下思想都以大根堆举例。
子结点与父结点的下标关系如下:
用一个指针指向待调整的结点:
直到指向根结点或者当前结点小于等于父结点。
代码实现
//将heap[k]向上调整 int heapUp(int *heap, int k) { int parent, son, x; x = heap[k]; son = k; parent = (son - 1) / 2; while (son > 0) { //如果父结点大于等于heap[k]则退出,否则将父结点下移 if (heap[parent] >= x) break; heap[son] = heap[parent]; son = parent; parent = (son - 1) / 2; } heap[son] = x; return 0; }
父结点与子结点的下标关系如下:
用一个指针指向待调整的结点:
直到指向叶子结点或者当前结点大于两个子结点。
代码实现
//将heap[k]向下调整 int heapDown(int *heap, int k, int n) { int parent, son, x; x = heap[k]; parent = k; son = 2 * k + 1; //左孩子结点 while (son <= n) { //比较左右儿子,选择较大的一个 if (son + 1 <= n && heap[son + 1] > heap[son]) son++; //使son指向左右孩子中较大的结点。 //如果儿子结点中较大的都小于等于待调整结点则退出,否则将子结点上移 if (heap[son] <= x) break; heap[parent] = heap[son]; parent = son; son = 2 * parent + 1; } heap[parent] = x; return 0; }
从堆尾插入元素,再对该元素进行向上调整直到满足堆性质。
将堆顶弹出,用堆尾的元素置换,再对堆顶的元素进行向下调整。
依次向堆尾插入元素,并对该元素进行向上调整,直到满足堆性质。
时间复杂度:
插入一个元素要调整的高度为logi,所以插入n个元素的总次数为log1+log2+...+logn=log(n!)。
根据斯特林公式,有如下证明,所以复杂度O(nlogn)。
待调整的数组,可以直接看成是一棵完全二叉树。
从(n-1)/2位置开始,将每个元素进行向下调整,直到根结点。对于每一个待调整的当前结点,下面的子树都已经满足堆性质,所以调整完所有结点便成了堆。
时间复杂度:
倒数第二层有2^(h-2)个结点,调整高度为1,依次类推,第一层有1个结点,调整高度为h-1,整体加起来的复杂度为O(n)。
代码实现
void buildHeap(int *heap, int n) { for (int i = (n - 1) / 2; i >= 0; --i) { heapDown(heap, i, n); } }
一个已经调整完成的大根堆。
核心思想:
重复以上过程直到整体元素为1,这时就变成了一个升序排列的数组。
模拟过程:
Step 1
Step 2
堆排的复杂度为nlogn,应用场景很广泛,这篇文章主要讲清楚堆相关的操作,具体的应用和建模以后会再专门写文章讲解。
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