CF1504D Flip the Cards（找规律+贪心）

题目大意：给你n张牌，正反面都有数字，保证所有牌上的数字在$[1,2n]$内且互不相同。你可以翻转任意张牌，接下来需要把牌按正面的数字从小到大排序，需要保证排序后牌背面的数字是从大到小。给出初始时牌的状态，问最少需要多少次翻转才能符合要求，如果一定达不到要求则输出-1。 n=1e5

限制关系是环，难以从前到后直接处理这个长度为2n的序列

套路1：把序列砍成一半

我们定义$a[i]$表示数$i$的牌背面的数字是多少。

多画几个例子容易发现，如果一张牌正反面都$\le n$或正反面都$>n$，一定不合法！因为数字各不相同，排的时候剩余的空不够！假设有一张牌的数字都$\le n$，那么在$[1,n]$内可用的其他位置为$n-2$个，却还有$n-1$张牌要占位置。都$>n$的情况是同一个道理

现在只考虑$[1,n]$，我们需要把$a[i]$划分成两个下降子序列！第一个序列i正面$a[i]$负面，第二个序列从后到前，a[i]反面i正面。

套路2：观察性质

如果$i$满足$min_{j\le i}(a[j]) > max_{j>i}(a[j])$，我们称$i$和$i+1$的间隔是一个间断，间断把序列分成数段，段和段之间的答案不会相互影响，因为段头可以接在任意一个子序列的末尾

单个段具有特殊性质！如果这段能划分成两个下降子序列，那么划分的方式是唯一的

证明：

假设这一段是$[l,r]$，那么只有唯一的一个$x\in(l,r],a[x]>a[l]$

对于$i\in (l,r]$

1.要么存在$l\le j<i$，$a[j]<a[i]$，$i$和$j$一定不在一组

2.要么存在$i<k\le r$，$a[k]>a[i]$，$k$和$i$不在一组

对于$(l,x)$的位置，一定和l划分到一组。在这之后，l开头一组，x开头一组。现在需要证明$(x,r]$之间的划分方式唯一

如果$a[i]$小于l的序列的末尾元素，似乎可以把i分到l或者x的末尾。但它一定不满足性质1，则性质2成立，它必须和k不在同一组。如果k满足性质2，对应的位置是k'，那么i,k,k'都不在同一组，一定不合法，因此k只能满足性质1，与i不在同一组。如果a[i]大于l的末尾元素，则只可能放在x的末尾。

当遍历到x+1是，l组的末尾（也就是x-1）满足性质2，x-1对应的k一定不和l一组，只能和x一组。归纳到(x,r]的其他位置，唯一确定了这一段的划分方式

综上，我们只需要关心l是正还是反就行了，正反两种情况讨论一下取最小值即可

 1 const int maxn=400000,N1=maxn+5; const int inf=0x3f3f3f3f;
 2 
 3 int n;
 4 template <typename _T> void read(_T &ret)
 5 {
 6     ret=0; _T fh=1; char c=getchar();
 7     while(c<'0'||c>'9'){ if(c=='-') fh=-1; c=getchar(); }
 8     while(c>='0'&&c<='9'){ ret=ret*10+c-'0'; c=getchar(); }
 9     ret=ret*fh;
10 }
11 int oa[N1],ob[N1],a[N1], type[N1];
12 int sma[N1],smi[N1];
13 
14 int mi[2];
15 int check(int l,int r,int p)
16 {
17     mi[p]=a[l]; mi[p^1]=inf; int ans=type[l]^p;
18     for(int i=l+1;i<=r;i++) 
19     {
20         if(a[i]>max(mi[p],mi[p^1])) return -1;
21         if(mi[p]<mi[p^1]){
22             if(a[i]<mi[p]) mi[p]=a[i], ans+=type[i]^p;
23             else mi[p^1]=a[i], ans+=type[i]^p^1;
24         }else{
25             if(a[i]<mi[p^1]) mi[p^1]=a[i], ans+=type[i]^p^1;
26             else mi[p]=a[i], ans+=type[i]^p;
27         }
28     }
29     return ans;
30 }
31 int calc(int l,int r)
32 {
33     return min(check(l,r,1),check(l,r,0));
34 }
35 int solve()
36 {
37     int ans=0, tmp;
38     for(int i=1,j=1;i<=n;i++)
39     {
40         for(j=i;j<n&&smi[j]<=sma[j+1];j++);
41         tmp=calc(i,j); if(tmp==-1) return -1;
42         ans+=tmp;
43         i=j;
44     }
45     return ans;
46 }
47 
48 int main()
49 {
50     scanf("%d",&n);
51     for(int i=1;i<=n;i++)
52     {
53         read(oa[i]), read(ob[i]);
54         if( (oa[i]<=n && ob[i]<=n) || (oa[i]>n && ob[i]>n) ){ puts("-1"); return 0; }
55         if(oa[i]<=n) a[oa[i]]=ob[i]; else a[ob[i]]=oa[i], type[ob[i]]=1;
56     }
57     smi[0]=inf;
58     for(int i=1;i<=n;i++) smi[i]=min(smi[i-1],a[i]);
59     for(int i=n;i>=1;i--) sma[i]=max(sma[i+1],a[i]);
60     int ans=solve();
61     printf("%d\n",ans);
62     return 0;
63 }