线性回归模型

线性回归模型是一个非常简单的算法模型，它属于机器学习中的监督学习算法。假设数据集中有特征xi和特征yi，现在每个i对应于一个样本点（xi，yi），希望通过线性回归算法建立如下所示的一个模型。

其中yi^{为线性模型的预测值，我们肯定是希望yi}能够准确预测未知的样本。通俗来讲就是找到一个函数（wxi+b）拟合 yi使得误差最小，即最小化该模型的损失函数：

只要能够使得损失函数最小化，那么此时建立的回归模型就能够较好的预测未知样本。那么如何最小化这个误差呢？这里需要用到梯度下降算法，非常简单，但是却非常强大，它的核心就是链式求导。

梯度
在梯度下降法中，我们首先要明确梯度的概念，一元回归中梯度就是我们所说的导数，多元回归中梯度就是我们所说的偏导数，如下所示是 f(x)=x² 这个函数在 x=1 处的梯度

f(x)=x²

我们为什么要求梯度呢?我们想要最快的进行回归模型的优化，而朝着梯度的方向进行优化往往是最快的。一个点的梯度值是这个函数变化最快的地方，也就是说沿着梯度的反方向，我们能够更快地找到函数的最小值点。

梯度下降算法

梯度下降算法，我们可以理解为朝着梯度的反方向一点一点的下降，最终我们就能找到损失函数的最小值，此时的模型就是我们所需要的。

比如我们在一座大山上的某处位置（函数的某一位置），由于我们不知道怎么下山，于是决定走一步算一步，也就是在每走到一个位置的时候，求解当前位置的梯度，沿着梯度的负方向，也就是当前最陡峭的位置向下走一步，然后继续求解当前位置梯度，这样一步步的走下去，一直走到山脚，这就是梯度下降算法的直观体现。

在我们进行梯度下降的时候，我们还需要指定算法走的这一步有多大，如果一步太小，那么算法的下降的速度会很慢，如果步长很大就容易在最小值点不断跳动，到不了最低点，所以步长是我们需要考虑中，机器学习中步长我们使用 η表示。

当算法进行一步梯度下降的之后，我们需要重新定位算法所在损失函数的位置，然后进行下一步梯度下降，更新公式是

算法通过不断地迭代更新，最终我们能够找到一组最优的参数w和b，这就是梯度下降法的原理。

当我们找到最优的参数w和b之后，我们就拥有了最终的回归模型，我们就可以使用这个最终的模型来预测未知样本了，这就是机器学习梯度下降优化算法对线性回归模型进行优化的过程。

代码为

def linear_model(x):
 return x * w + b
def get_loss(y_, y):
 return torch.mean((y_ - y_train) ** 2)
for e in range(10): # 进行 10 次更新
 y_ = linear_model(x_train)
 loss = get_loss(y_, y_train)
 
 w.grad.zero_() 
 b.grad.zero_() 
 loss.backward()
 
 w.data = w.data - 1e-2 * w.grad.data # 更新 w
 b.data = b.data - 1e-2 * b.grad.data # 更新 b 
 print('epoch: {}, loss: {}'.format(e, loss.data[0]))